Решение уравнения

Для решения уравнения $$20A_{n-2}^3 = A_n^5$$ воспользуемся формулой числа размещений: $$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$$.

1. Преобразуем левую часть уравнения: $$20A_{n-2}^3 = 20 \cdot \frac{(n-2)!}{(n-2-3)!} = 20 \cdot \frac{(n-2)!}{(n-5)!}$$.
2. Преобразуем правую часть уравнения: $$A_n^5 = \frac{n!}{(n-5)!}$$.
3. Приравняем левую и правую части уравнения: $$20 \cdot \frac{(n-2)!}{(n-5)!} = \frac{n!}{(n-5)!}$$.
4. Сократим обе части уравнения на $$\frac{1}{(n-5)!}$$: $$20(n-2)! = n!$$.
5. Развернем факториалы: $$20(n-2)! = n(n-1)(n-2)!$$.
6. Сократим обе части уравнения на $$(n-2)!$$: $$20 = n(n-1)$$.
7. Раскроем скобки и получим квадратное уравнение: $$n^2 - n - 20 = 0$$.
8. Решим квадратное уравнение через дискриминант: $$D = (-1)^2 - 4(1)(-20) = 1 + 80 = 81$$.
9. Найдем корни уравнения: $$n_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{81}}{2(1)} = \frac{1 + 9}{2} = 5$$, $$n_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{81}}{2(1)} = \frac{1 - 9}{2} = -4$$.
10. Так как $$n$$ должно быть натуральным числом и больше или равно 5 (из условия $$A_n^5$$), то $$n = 5$$ не подходит, потому что в левой части $$A_{n-2}^3$$ тогда будет $$A_3^3$$, а справа $$A_5^5$$. Если $$n=5$$, то $$20A_3^3=20*6=120$$ и $$A_5^5=120$$. Получается верное равенство.

Следовательно, решением уравнения является $$n = 5$$.