Решить уравнение logo.4(x+2)+logo.4 (x+3)= log0.4 (1-x)

Решение:

Запишем уравнение: \( \log_{0.4}(x+2) + \log_{0.4}(x+3) = \log_{0.4}(1-x) \)

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительными:
• \( x+2 > 0 \Rightarrow x > -2 \)
• \( x+3 > 0 \Rightarrow x > -3 \)
• \( 1-x > 0 \Rightarrow x < 1 \)
2. Объединяя все условия, получаем ОДЗ: \( -2 < x < 1 \).
3. Используем свойство логарифмов \( \log_b A + \log_b B = \log_b (A \cdot B) \):
\[ \log_{0.4}((x+2)(x+3)) = \log_{0.4}(1-x) \]\[ \log_{0.4}(x^2 + 5x + 6) = \log_{0.4}(1-x) \]
4. Поскольку основания логарифмов равны, приравниваем аргументы:
\[ x^2 + 5x + 6 = 1-x \]\[ x^2 + 6x + 5 = 0 \]
5. Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16 \]
6. Найдем корни:
\[ x_1 = \frac{-6 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]\[ x_2 = \frac{-6 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 4}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \]
7. Проверим корни по ОДЗ \( -2 < x < 1 \):
• \( x_1 = -1 \) удовлетворяет ОДЗ.
• \( x_2 = -5 \) не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: x = -1.