Решите неравенство: log₄(x-2) ≥2

Решение:

Запишем неравенство: \( \log_4(x-2) \ge 2 \)

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть положительным:
\[ x-2 > 0 \Rightarrow x > 2 \]
2. Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием 4:
\[ 2 = \log_4(4^2) = \log_4(16) \]
3. Теперь неравенство выглядит так:
\[ \log_4(x-2) \ge \log_4(16) \]
4. Так как основание логарифма \( 4 > 1 \), функция \( \log_4 t \) возрастающая. Следовательно, при раскрытии неравенства знаки сохраняются:
\[ x-2 \ge 16 \]\[ x \ge 16 + 2 \]\[ x \ge 18 \]
5. Учитывая ОДЗ \( x > 2 \), объединяем условия \( x \ge 18 \) и \( x > 2 \). Получаем, что \( x \ge 18 \) удовлетворяет условию \( x > 2 \).

Ответ: \( x \ge 18 \).