3. Решить уравнение log2(x² + 4x) = -1.

Question

Вопрос:

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Краткое пояснение: Решаем логарифмическое уравнение, используя определение и свойства логарифмов.

Запишем уравнение: \( \log_2(x^2 + 4x) = -1 \).
Используем определение логарифма: \( x^2 + 4x = 2^{-1} \).
Преобразуем: \( x^2 + 4x = \frac{1}{2} \).
Умножим обе части на 2: \( 2x^2 + 8x = 1 \).
Перенесем все в одну сторону: \( 2x^2 + 8x - 1 = 0 \).
Решим квадратное уравнение через дискриминант:

Показать пошаговые вычисления

\( D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 64 + 8 = 72 \).
\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{72}}{4} = \frac{-8 + 6\sqrt{2}}{4} = -2 + \frac{3\sqrt{2}}{2} \).
\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{72}}{4} = \frac{-8 - 6\sqrt{2}}{4} = -2 - \frac{3\sqrt{2}}{2} \).

Проверим область определения логарифма: \( x^2 + 4x > 0 \).

То есть, \( x(x + 4) > 0 \).

Это выполняется, когда \( x < -4 \) или \( x > 0 \).

Проверим найденные корни:

\( x_1 = -2 + \frac{3\sqrt{2}}{2} \approx -2 + \frac{3 \cdot 1.414}{2} \approx -2 + 2.121 = 0.121 > 0 \) - подходит.
\( x_2 = -2 - \frac{3\sqrt{2}}{2} \approx -2 - \frac{3 \cdot 1.414}{2} \approx -2 - 2.121 = -4.121 < -4 \) - подходит.

Ответ: \( x_1 = -2 + \frac{3\sqrt{2}}{2} \), \( x_2 = -2 - \frac{3\sqrt{2}}{2} \)