Решить уравнение: 1) sin 3x cos x - sin x cos 3x = 1; 2) 2 cos² x + 5 cos x = 3; 3) tg x - 3 ctg x = 0; 4) sin 3x - sin x = 0; 5) 2 sin x + sin 2x = 0.

1) sin 3x cos x - sin x cos 3x = 1

Используем формулу синуса разности: sin(a - b) = sin a cos b - sin b cos a

$$sin(3x - x) = 1$$ $$sin(2x) = 1$$ $$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in Z$$ $$x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in Z$$

Ответ: x = π/4 + πk, k ∈ Z

2) 2 cos² x + 5 cos x = 3

Преобразуем уравнение:

$$2 cos^2 x + 5 cos x - 3 = 0$$

Сделаем замену: t = cos x, |t| <= 1.

$$2t^2 + 5t - 3 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D = 5^2 - 4 * 2 * (-3) = 25 + 24 = 49$$ $$t_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 * 2} = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ $$t_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 * 2} = \frac{-5 - 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3$$

Так как |t| <= 1, то t₂ = -3 не является решением. Значит, cos x = 1/2

$$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in Z$$

Ответ: x = ±π/3 + 2πk, k ∈ Z

3) tg x - 3 ctg x = 0

Запишем уравнение через тангенс и котангенс:

$$tg x - \frac{3}{tg x} = 0$$

Умножим обе части на tg x (с учетом, что tg x ≠ 0, а значит x ≠ πk):

$$tg^2 x - 3 = 0$$ $$tg^2 x = 3$$ $$tg x = \pm \sqrt{3}$$

Решаем для каждого случая:

• tg x = √3 => x = π/3 + πk, k ∈ Z
• tg x = -√3 => x = -π/3 + πk, k ∈ Z

Объединяем решения:

$$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in Z$$

Ответ: x = ±π/3 + πk, k ∈ Z

4) sin 3x - sin x = 0

Используем формулу разности синусов: sin a - sin b = 2 cos((a+b)/2) sin((a-b)/2)

$$2 cos(\frac{3x + x}{2}) sin(\frac{3x - x}{2}) = 0$$ $$2 cos(2x) sin(x) = 0$$

Отсюда либо cos(2x) = 0, либо sin(x) = 0.

Решаем каждое уравнение:

• cos(2x) = 0 => 2x = π/2 + πk => x = π/4 + πk/2, k ∈ Z
• sin(x) = 0 => x = πk, k ∈ Z

Ответ: x = π/4 + πk/2, x = πk, k ∈ Z

5) 2 sin x + sin 2x = 0

Используем формулу синуса двойного угла: sin 2x = 2 sin x cos x

$$2 sin x + 2 sin x cos x = 0$$ $$2 sin x (1 + cos x) = 0$$

Отсюда либо sin x = 0, либо cos x = -1.

Решаем каждое уравнение:

• sin x = 0 => x = πk, k ∈ Z
• cos x = -1 => x = π + 2πk, k ∈ Z

Заметим, что решение x = π + 2πk является частным случаем решения x = πk (при нечетных k).

Ответ: x = πk, k ∈ Z