6. Решить уравнения, сводящиеся к квадратн a) 4cos²x=1; 6) 3 sin²x+sinx-4=0; B) tg²x+2tgx-3=0; r) 2sin²x-3cosx=0;

Разбираемся:

Пошаговое решение:

а) \( 4cos^2x = 1 \)

1. Разделим обе части уравнения на 4: \[ cos^2x = \frac{1}{4} \]
2. Извлечем квадратный корень из обеих частей: \[ cosx = \pm \frac{1}{2} \]
3. Решим два уравнения: \[ cosx = \frac{1}{2} \] и \( cosx = -\frac{1}{2} \) Для \( cosx = \frac{1}{2} \): \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \) Для \( cosx = -\frac{1}{2} \): \( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \)

Ответ: \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \), \( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \)

б) \( 3sin^2x + sinx - 4 = 0 \)

1. Пусть \( t = sinx \), тогда уравнение примет вид: \[ 3t^2 + t - 4 = 0 \]
2. Решим квадратное уравнение относительно t: Дискриминант: \( D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49 \) Корни: \( t_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 + 7}{6} = 1 \) \( t_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 - 7}{6} = -\frac{4}{3} \)
3. Вернемся к sinx: \( sinx = 1 \) и \( sinx = -\frac{4}{3} \) Уравнение \( sinx = -\frac{4}{3} \) не имеет решений, так как \( |sinx| \le 1 \). Решим уравнение \( sinx = 1 \): \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \)

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \)

в) \( tg^2x + 2tgx - 3 = 0 \)

1. Пусть \( t = tgx \), тогда уравнение примет вид: \[ t^2 + 2t - 3 = 0 \]
2. Решим квадратное уравнение относительно t: Дискриминант: \( D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \) Корни: \( t_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \) \( t_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 4}{2} = -3 \)
3. Вернемся к tgx: \( tgx = 1 \) и \( tgx = -3 \) Решим два уравнения: Для \( tgx = 1 \): \( x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \) Для \( tgx = -3 \): \( x = arctg(-3) + \pi n, n \in \mathbb{Z} \)

Ответ: \( x = \frac{\pi}{4} + \pi n \), \( x = arctg(-3) + \pi n, n \in \mathbb{Z} \)

г) \( 2sin^2x - 3cosx = 0 \)

1. Используем основное тригонометрическое тождество \( sin^2x = 1 - cos^2x \): \[ 2(1 - cos^2x) - 3cosx = 0 \] \[ 2 - 2cos^2x - 3cosx = 0 \] \[ 2cos^2x + 3cosx - 2 = 0 \]
2. Пусть \( t = cosx \), тогда уравнение примет вид: \[ 2t^2 + 3t - 2 = 0 \]
3. Решим квадратное уравнение относительно t: Дискриминант: \( D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \) Корни: \( t_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{1}{2} \) \( t_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 5}{4} = -2 \)
4. Вернемся к cosx: \( cosx = \frac{1}{2} \) и \( cosx = -2 \) Уравнение \( cosx = -2 \) не имеет решений, так как \( |cosx| \le 1 \). Решим уравнение \( cosx = \frac{1}{2} \): \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \)

Ответ: \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \)