6. Решить уравнения, сводящиеся к квадратным: a) sin²x = 1; 6) 4cos²x + cosx− 5 = 0; B) 4tg²x+tgx-3= 0; r) 2cos²x – 3sinx = 0;.

Давай решим уравнения, сводящиеся к квадратным. a) \( sin^2x = 1 \) \[ sinx = \pm 1 \] Если \( sinx = 1 \), то \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \) - целое число. Если \( sinx = -1 \), то \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \) - целое число. Объединяя эти два случая, получаем: \[ x = \frac{\pi}{2} + \pi k \], где \( k \) - целое число. б) \( 4cos^2x + cosx - 5 = 0 \) Пусть \( y = cosx \), тогда уравнение примет вид: \[ 4y^2 + y - 5 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 1 + 80 = 81 \] Тогда корни: \[ y_1 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 + 9}{8} = \frac{8}{8} = 1 \] \[ y_2 = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 - 9}{8} = \frac{-10}{8} = -\frac{5}{4} = -1.25 \] Так как \( y = cosx \), то \( cosx = 1 \) или \( cosx = -1.25 \). Если \( cosx = 1 \), то \( x = 2\pi k \), где \( k \) - целое число. Если \( cosx = -1.25 \), то это невозможно, так как \( -1 \le cosx \le 1 \). в) \( 4tg^2x + tgx - 3 = 0 \) Пусть \( y = tgx \), тогда уравнение примет вид: \[ 4y^2 + y - 3 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49 \] Тогда корни: \[ y_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 + 7}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \] \[ y_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 - 7}{8} = \frac{-8}{8} = -1 \] Так как \( y = tgx \), то \( tgx = \frac{3}{4} \) или \( tgx = -1 \). Если \( tgx = \frac{3}{4} \), то \( x = arctg(\frac{3}{4}) + \pi k \), где \( k \) - целое число. Если \( tgx = -1 \), то \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( k \) - целое число. г) \( 2cos^2x - 3sinx = 0 \) Заменим \( cos^2x \) на \( 1 - sin^2x \): \[ 2(1 - sin^2x) - 3sinx = 0 \] \[ 2 - 2sin^2x - 3sinx = 0 \] \[ 2sin^2x + 3sinx - 2 = 0 \] Пусть \( y = sinx \), тогда уравнение примет вид: \[ 2y^2 + 3y - 2 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \] Тогда корни: \[ y_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] \[ y_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2 \] Так как \( y = sinx \), то \( sinx = \frac{1}{2} \) или \( sinx = -2 \). Если \( sinx = \frac{1}{2} \), то \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \) или \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \), где \( k \) - целое число. Если \( sinx = -2 \), то это невозможно, так как \( -1 \le sinx \le 1 \).

Ответ:

a) \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \) - целое число

б) \( x = 2\pi k \), где \( k \) - целое число

в) \( x = arctg(\frac{3}{4}) + \pi k \) или \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( k \) - целое число

г) \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \) или \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \), где \( k \) - целое число

Ты молодец! У тебя всё получится!