Решить уравнения: x − 3 + √(2x − 3) = 0; √(12 − x) − √(x + 1) = √(4 − x).

1. Область определения: \(x\geq \frac{3}{2}\). Из уравнения следует \(\sqrt{2x-3}=3-x\), поэтому дополнительно \(x\leq 3\).

Возведём обе части в квадрат:

\(2x-3=(3-x)^2\).

\(x^2-8x+12=0\), откуда \(x=2\) или \(x=6\). Условию \(\frac{3}{2}\leq x\leq 3\) подходит только \(x=2\). Проверка: \(2-3+\sqrt{4-3}=0\).

2. Область определения: \(-1\leq x\leq 4\). Перенесём один корень вправо: \(\sqrt{12-x}=\sqrt{x+1}+\sqrt{4-x}\).

Возведём в квадрат:

\(12-x=5+2\sqrt{(x+1)(4-x)}\), то есть \(7-x=2\sqrt{(x+1)(4-x)}\).

Повторное возведение в квадрат даёт \((7-x)^2=4(x+1)(4-x)\), или \(5x^2-26x+33=0\). Корни: \(x=3\) и \(x=\frac{11}{5}\). Оба входят в область определения. Проверка: при \(x=3\) получаем \(3-2=1\); при \(x=\frac{11}{5}\) обе части равны \(\sqrt{\frac{9}{5}}\).

Ответ: 1) \(x=2\); 2) \(x=\frac{11}{5},\ 3\).