Решить задачу, к каждой построить диаграмму Эйлера и записать решение. 5. В группе переводчиков 82 человека, каждый из которых владеет по крайней мере одним иностранным языком. Из них 29 знают английский, 29 — французский, 42 — немецкий. Среди них нет таких, которые бы владели ровно двумя иностранными языками, но есть владеющие тремя языками сразу. Сколько человек знают три иностранных языка?

Пусть \(x\) человек знают все три языка. Так как владеющих ровно двумя языками нет, остальные \(82-x\) человек знают ровно по одному языку.

Общее число владений языками, посчитанное по каждому языку, равно \(29+29+42=100\). С другой стороны, оно равно \((82-x)+3x=82+2x\): каждый из остальных владеет одним языком, а каждый из \(x\) человек — тремя.

\(100=82+2x\), значит \(2x=18\) и \(x=9\).

Для диаграммы: знающих только английский \(29-9=20\), только французский \(29-9=20\), только немецкий \(42-9=33\). Эти части дают \(20+20+33+9=82\).

Ответ: 9 человек.