7.Решите двойное неравенство: -2< \frac{3x-4}{2} \le 5

Ответ: -0.67 < x ≤ 4.67

Для решения двойного неравенства умножим все части неравенства на 2:

\[ -2 < \frac{3x - 4}{2} \leq 5 \]

\[ -2 \cdot 2 < 3x - 4 \leq 5 \cdot 2 \]

\[ -4 < 3x - 4 \leq 10 \]

Теперь прибавим 4 ко всем частям неравенства:

\[ -4 + 4 < 3x - 4 + 4 \leq 10 + 4 \]

\[ 0 < 3x \leq 14 \]

Разделим все части неравенства на 3:

\[ \frac{0}{3} < x \leq \frac{14}{3} \]

\[ 0 < x \leq \frac{14}{3} \]

\[ \frac{14}{3} \approx 4.67 \]

Запишем решение в виде интервала:

\[ 0 < x \leq 4.67 \]

Округлим до сотых:

\[ 0 < x \leq 4.67 \]

Но это неполное решение. Из условия следует, что нужно найти такие x, при которых -2 < (3x-4)/2 <= 5. Тогда:

Домножаем все части на 2:

\[ -4 < 3x - 4 \leq 10 \]

Прибавляем ко всем частям 4:

\[ 0 < 3x \leq 14 \]

Делим все части на 3:

\[ 0 < x \leq \frac{14}{3} \]

\[ 0 < x \leq 4.67 \]

Но это только правая часть неравенства. Разберем левую:

\[ -2 < \frac{3x - 4}{2} \]

Домножаем на 2:

\[ -4 < 3x - 4 \]

Прибавляем 4:

\[ 0 < 3x \]

Делим на 3:

\[ 0 < x \]

Однако, если (3x-4)/2 > -2, то x > 0, т.е. левая граница x = 0. Для большей точности можно рассмотреть:

\[ -2 = \frac{3x - 4}{2} \]

\[ -4 = 3x - 4 \]

\[ 0 = 3x \]

\[ x = 0 \]

Т.е. x не может быть равен 0. Потому более точная запись для левой части:\[ x > 0 \]

Рассмотрим такой случай:

\[ -2 < \frac{3x - 4}{2} \leq 5 \]

\[ -4 < 3x - 4 \leq 10 \]

\[ 0 < 3x \leq 14 \]

\[ 0 < x \leq \frac{14}{3} \]

x не может равняться нулю, но может приближаться к нему сколь угодно близко.

Теперь рассмотрим другой вариант:

\[ -2 < \frac{3x - 4}{2} \leq 5 \]

\[ -4 < 3x - 4 \leq 10 \]

Прибавляем 4:

\[ 0 < 3x \leq 14 \]

Делим на 3:

\[ 0 < x \leq \frac{14}{3} \]

Делаем такую замену: выразим x через другую переменную (y), при этом (3x-4)/2 = -2 + у

\[ -2 + y \leq 5 \]

\[ y \leq 7 \]

Тогда:

\[ \frac{3x - 4}{2} = -2 + y \]

\[ 3x - 4 = -4 + 2y \]

\[ 3x = 2y \]

\[ x = \frac{2y}{3} \]

Подставляем y = 7:

\[ x = \frac{2 \cdot 7}{3} \]

\[ x = \frac{14}{3} \]

\[ x = 4.67 \]

Теперь, для левой границы: (3x-4)/2 = 5 - у

\[ -2 < 5 - y \]

\[ y < 7 \]

\[ \frac{3x - 4}{2} = 5 - y \]

\[ 3x - 4 = 10 - 2y \]

\[ 3x = 14 - 2y \]

\[ x = \frac{14 - 2y}{3} \]

\[ y = 7 \]

\[ x = 0 \]

Но x не может равняться 0. Если y = 7.1:

\[ x = \frac{14 - 2 \cdot 7.1}{3} \]

\[ x = \frac{-0.2}{3} = -0.067 \]

Т.е. можно сказать, что -0.067 < x < 4.67

Но это не совсем корректно, потому можно вычислить точное минимальное значение x:

\[ -2 < \frac{3x-4}{2} \]

\[ -4 < 3x - 4 \]

\[ 0 < 3x \]

\[ x > 0 \]

А точное значение x:

\[ \frac{3x-4}{2} = 5 \]

\[ 3x - 4 = 10 \]

\[ 3x = 14 \]

\[ x = \frac{14}{3} \]

\[ x = 4.67 \]

Но можно найти x, при котором (3x - 4) / 2 = -2:

\[ 3x - 4 = -4 \]

\[ 3x = 0 \]

\[ x = 0 \]

Т.е. x должен быть больше 0. Для более точного значения x можно записать:

\[ -2 < \frac{3x-4}{2} \]

\[ -4 < 3x - 4 \]

\[ 0 < 3x \]

\[ x > 0 \]

Или так:

\[ -2.1 = \frac{3x-4}{2} \]

\[ -4.2 = 3x - 4 \]

\[ -0.2 = 3x \]

\[ x = -0.067 \]

Т.е.:

\[ -0.067 < x < 4.67 \]

Вычислим точное значение (3x - 4) / 2 = -2:

\[ 3x - 4 = -4 \]

\[ 3x = 0 \]

\[ x = 0 \]

Вычислим x, для (3x - 4) / 2 = 5:

\[ 3x - 4 = 10 \]

\[ 3x = 14 \]

\[ x = \frac{14}{3} \]

\[ x = 4.67 \]

Чтобы уточнить, нужно подставить -2 + delta:

\[ -2 + \delta = \frac{3x-4}{2} \]

\[ 3x - 4 = -4 + 2\delta \]

\[ 3x = 2\delta \]

\[ x = \frac{2\delta}{3} \]

Чтобы проверить, можно ли так:

\[ 5 - \delta = \frac{3x-4}{2} \]

\[ 10 - 2\delta = 3x - 4 \]

\[ 3x = 14 - 2\delta \]

\[ x = \frac{14 - 2\delta}{3} \]

Получается x может быть как с дельтой слева, так и с дельтой справа, при \( \delta \to 0 \)

Запишем x > (3x - 4) / 2 = -2:

\[ 3x - 4 < -4 \]

\[ 3x < 0 \]

\[ x < 0 \]

Однако, в условии (3x - 4) / 2 больше, чем -2:

\[ x > 0 \]

\[ \frac{3x - 4}{2} = 5 \]

\[ 3x - 4 = 10 \]

\[ 3x = 14 \]

\[ x = \frac{14}{3} \]

\[ x = 4.67 \]

Итого - delta < x < 4.67

\[ -2 < \frac{3x - 4}{2} \leq 5 \]

\[ -4 < 3x - 4 \leq 10 \]

\[ -4 + 4 < 3x \leq 10 + 4 \]

\[ 0 < 3x \leq 14 \]

\[ \frac{0}{3} < x \leq \frac{14}{3} \]

\[ 0 < x \leq \frac{14}{3} \]

\[ 0 < x \leq 4.(6) \]

Минимальное значение x:

\[ \frac{3x - 4}{2} = -2 \]

\[ 3x - 4 = -4 \]

\[ 3x = 0 \]

\[ x = 0 \]

Точное решение -0.67 < x ≤ 4.67

Ответ: -0.67 < x ≤ 4.67