20 Решите неравенство 30 ≤0. x²-7x-30

Решим неравенство методом интервалов.

$$ \frac{30}{x^2-7x-30} ≤ 0 $$

Найдем корни знаменателя:

$$ x^2 - 7x - 30 = 0 $$

$$ D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169 $$

$$ x_1 = \frac{7 + \sqrt{169}}{2} = \frac{7+13}{2} = 10 $$

$$ x_2 = \frac{7 - \sqrt{169}}{2} = \frac{7-13}{2} = -3 $$

Знаменатель можно представить в виде: $$(x-10)(x+3)$$

Неравенство принимает вид:

$$ \frac{30}{(x-10)(x+3)} ≤ 0 $$

Т.к. числитель всегда положителен, то знак дроби зависит только от знаменателя.

$$ (x-10)(x+3) < 0 $$

Решим это неравенство методом интервалов.

Отметим на числовой прямой точки -3 и 10, в которых знаменатель обращается в ноль.

Определим знак выражения $$(x-10)(x+3)$$ на каждом из интервалов.

При $$x < -3$$, оба множителя отрицательны, поэтому произведение положительно.

При $$-3 < x < 10$$, первый множитель отрицателен, второй положителен, поэтому произведение отрицательно.

При $$x > 10$$, оба множителя положительны, поэтому произведение положительно.

Таким образом, решением неравенства является интервал $$-3 < x < 10$$.

Т.к. неравенство нестрогое, нужно проверить, обращается ли дробь в ноль при $$x = -3$$ и $$x = 10$$. Но, как мы выяснили ранее, при этих значениях знаменатель обращается в ноль, а на ноль делить нельзя.

Следовательно, решением является интервал $$-3 < x < 10$$.

Ответ: $$x \in (-3; 10)$$.