7. Решите неравенство: \(\frac{4x-12}{x-6}≥0.\)

Решим неравенство методом интервалов.

1. Найдем нули числителя и знаменателя:

\(4x - 12 = 0\)

\(4x = 12\)

\(x = 3\)

\(x - 6 = 0\)

\(x = 6\)

2. Отметим точки 3 и 6 на числовой прямой. Точка 3 будет закрашенной, так как неравенство нестрогое, а точка 6 - выколотой, так как на нее делить нельзя.

3. Определим знаки на каждом интервале:

• \(x < 3\): \(\frac{4(0)-12}{0-6} = \frac{-12}{-6} = 2 > 0\) (знак +)
• \(3 < x < 6\): \(\frac{4(4)-12}{4-6} = \frac{16-12}{-2} = \frac{4}{-2} = -2 < 0\) (знак -)
• \(x > 6\): \(\frac{4(7)-12}{7-6} = \frac{28-12}{1} = 16 > 0\) (знак +)

4. Выберем интервалы, где выражение больше или равно нулю (знак +).

5. Запишем ответ.

Ответ: \(x \in (-\infty; 3] \cup (6; +\infty)\)