5. Решите неравенство \((x-3)^2 < \sqrt{5}(x-3)\).

Решаем неравенство:

Логика такая: переносим всё в одну сторону и выносим общий множитель.

• Исходное неравенство: \((x-3)^2 < \sqrt{5}(x-3)\).
• Перенесём всё влево: \((x-3)^2 - \sqrt{5}(x-3) < 0\).
• Выносим общий множитель \((x-3)\): \((x-3)(x-3 - \sqrt{5}) < 0\).

Пошаговое решение:

1. Находим нули: \(x - 3 = 0\) => \(x_1 = 3\), \(x - 3 - \sqrt{5} = 0\) => \(x_2 = 3 + \sqrt{5}\).
2. Метод интервалов: рассматриваем интервалы \((-\infty; 3)\), \((3; 3+\sqrt{5})\), \((3+\sqrt{5}; +\infty)\).
3. Определяем знаки на интервалах:
4. \((-\infty; 3)\): \((2-3)(2-3-\sqrt{5}) = (-1)(-1-\sqrt{5}) > 0\)
5. \((3; 3+\sqrt{5})\): \((4-3)(4-3-\sqrt{5}) = (1)(1-\sqrt{5}) < 0\)
6. \((3+\sqrt{5}; +\infty)\): \((5-3)(5-3-\sqrt{5}) = (2)(2-\sqrt{5}) > 0\)
7. Выбираем интервал, где выражение меньше нуля: \((3; 3+\sqrt{5})\).

Ответ: (3; 3 + \(\sqrt{5}\)).