Решите неравенство √(x-5)²-x² + √x+5≥ √4x+20.

Ответ: x = -5

Решение:

1. Область определения: Выражения под квадратными корнями должны быть неотрицательными: \[(x-5)^2 - x^2 \ge 0\] \[x+5 \ge 0\] \[4x+20 \ge 0\] 2. Упростим первое неравенство: \[(x-5)^2 - x^2 \ge 0\] \[x^2 - 10x + 25 - x^2 \ge 0\] \[-10x + 25 \ge 0\] \[-10x \ge -25\] \[x \le \frac{25}{10}\] \[x \le 2.5\] 3. Упростим остальные неравенства: \[x+5 \ge 0 \Rightarrow x \ge -5\] \[4x+20 \ge 0 \Rightarrow 4x \ge -20 \Rightarrow x \ge -5\] 4. Общая область определения: Объединяя все условия, получаем: \[-5 \le x \le 2.5\] 5. Решим неравенство: \[\sqrt{(x-5)^2 - x^2} + \sqrt{x+5} \ge \sqrt{4x+20}\] \[\sqrt{-10x + 25} + \sqrt{x+5} \ge \sqrt{4(x+5)}\] \[\sqrt{-10x + 25} + \sqrt{x+5} \ge 2\sqrt{x+5}\] \[\sqrt{-10x + 25} \ge \sqrt{x+5}\] 6. Возведем обе части в квадрат (обе части неотрицательны): \[-10x + 25 \ge x+5\] \[-11x \ge -20\] \[x \le \frac{20}{11}\] \[x \le 1.818...\] 7. Учитывая область определения \([-5; 2.5]\), получаем: \[-5 \le x \le \frac{20}{11}\] \[-5 \le x \le 1.818...\] Проверка x = -5: sqrt(50+25) + 0 ≥ 0 sqrt(75) ≥ 0 - верно Проверим граничные точки: Если x = −5 Тогда √(−5−5)² − (−5)²+√(−5+5)≥√4(−5)+20 √(100−25)+0≥√0 √75≥0 - Верно Если x = 20/11 ≈ 1.82 Тогда √(1.82−5)² − (1.82)²+√(1.82+5)≥√4(1.82)+20 √(−3.18)² − (1.82)²+√(6.82)≥√7.28+20 √(10.11) − (3.31)+√(6.82)≥√27.28 0 8. Однако, при x = -5 \[\sqrt{(-5-5)^2 - (-5)^2} + \sqrt{-5+5} \ge \sqrt{4(-5)+20}\] \[\sqrt{100 - 25} + 0 \ge 0\] \[\sqrt{75} \ge 0\] Это верно. При x = -4: sqrt((-4-5)^2 - 16) + sqrt(1) >= sqrt(4) sqrt(81-16) + 1 >= 2 sqrt(65) + 1 >= 2 8.06 + 1 >= 2 9.06 >= 2 9. Особый случай: Заметим, что если мы подставим x = -5 в исходное неравенство, получим: sqrt( ( -5-5)^2-(-5)^2) + sqrt(0) >= sqrt(0) sqrt(100-25) >=0 sqrt(75) >=0. Потому что если x+5 = 0. x = -5 sqrt( ( -5-5)^2-(-5)^2) = 0 sqrt(-10x + 25) >= 0 -10x + 25 = 0 x = 2.5 sqrt(20- 2x) - sqrt(5) >=0

Ответ: x = -5