) Решите уравнение 2cos(x-π/4) - √2sinx = 2sin(x+π/4) - √2cosx. a) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-6л; – 5π]

Ответ: a) x = -17π/4, x = -13π/4

Решение:

a) Решим уравнение: 1. Преобразуем уравнение, используя формулы косинуса и синуса суммы: \[2 \cos(x - \frac{\pi}{4}) - \sqrt{2} \sin x = 2 \sin(x + \frac{\pi}{4}) - \sqrt{2} \cos x\] \[2(\cos x \cos \frac{\pi}{4} + \sin x \sin \frac{\pi}{4}) - \sqrt{2} \sin x = 2(\sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4}) - \sqrt{2} \cos x\] Так как \(\cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\), уравнение примет вид: \[2(\cos x \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin x \frac{\sqrt{2}}{2}) - \sqrt{2} \sin x = 2(\sin x \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos x \frac{\sqrt{2}}{2}) - \sqrt{2} \cos x\] \[\sqrt{2} \cos x + \sqrt{2} \sin x - \sqrt{2} \sin x = \sqrt{2} \sin x + \sqrt{2} \cos x - \sqrt{2} \cos x\] \[\sqrt{2} \cos x = \sqrt{2} \sin x\] \[\cos x = \sin x\] 2. Разделим обе части уравнения на \(\cos x\) (при условии, что \(\cos x
eq 0\)): \[\tan x = 1\] Общее решение уравнения \(\tan x = 1\) имеет вид: \[x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\] б) Найдем корни, принадлежащие отрезку \([-6\pi; -5\pi]\): Нужно найти такие целые значения \(k\), при которых \(x = \frac{\pi}{4} + \pi k\) попадает в заданный отрезок. \[-6\pi \le \frac{\pi}{4} + \pi k \le -5\pi\] Разделим все части неравенства на \(\pi\): \[-6 \le \frac{1}{4} + k \le -5\] Вычтем \(\frac{1}{4}\) из всех частей: \[-6 - \frac{1}{4} \le k \le -5 - \frac{1}{4}\] \[-6.25 \le k \le -5.25\] Так как \(k\) должно быть целым числом, возможные значения \(k\) это \(-6\) и \(-5\). 1. Подставим \(k = -6\) в общее решение: \[x = \frac{\pi}{4} + \pi(-6) = \frac{\pi}{4} - 6\pi = \frac{\pi - 24\pi}{4} = -\frac{23\pi}{4}\] 2. Подставим \(k = -5\) в общее решение: \[x = \frac{\pi}{4} + \pi(-5) = \frac{\pi}{4} - 5\pi = \frac{\pi - 20\pi}{4} = -\frac{19\pi}{4}\] Оба значения, \(-\frac{23\pi}{4}\) и \(-\frac{19\pi}{4}\), принадлежат отрезку \([-6\pi; -5\pi]\), так как \[-6\pi = -\frac{24\pi}{4} \le -\frac{23\pi}{4} < -\frac{19\pi}{4} \le -\frac{20\pi}{4} = -5\pi\]

Ответ: a) x = -17π/4, x = -13π/4