В июле 2026 года планируется взять кредит на три года в разме 800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг будет возрастать на 20 % по сравнению с конц предыдущего года; с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платеж часть долга; платежи в 2027 и 2028 годах должны быть равными; — к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью. Известно, что платёж в 2029 году составит 590,4 тыс. рублей. Найдите сум всех платежей после полного погашения кредита.

Ответ: Сумма всех платежей составит 2200 тыс. рублей.

Решение:

1. Обозначения: - \(S = 800\) тыс. рублей - сумма кредита - \(r = 0.2\) - процентная ставка (20%) - \(x\) - платежи в 2027 и 2028 годах - \(y = 590.4\) тыс. рублей - платеж в 2029 году 2. Схема погашения кредита: - Июль 2026: \(S = 800\) - Январь 2027: долг увеличивается на 20%, становится \(1.2S\) - В 2027 году выплачивается \(x\), долг становится \(1.2S - x\) - Январь 2028: долг увеличивается на 20%, становится \(1.2(1.2S - x)\) - В 2028 году выплачивается \(x\), долг становится \(1.2(1.2S - x) - x\) - Январь 2029: долг увеличивается на 20%, становится \(1.2(1.2(1.2S - x) - x)\) - В 2029 году выплачивается \(y\), долг становится \(1.2(1.2(1.2S - x) - x) - y = 0\) 3. Составим уравнение: \[1.2(1.2(1.2S - x) - x) - y = 0\] \[1.2(1.44S - 1.2x - x) - y = 0\] \[1.2(1.44S - 2.2x) - y = 0\] \[1.728S - 2.64x - y = 0\] \[2.64x = 1.728S - y\] \[x = \frac{1.728S - y}{2.64}\] 4. Подставим значения: \[x = \frac{1.728 \cdot 800 - 590.4}{2.64}\] \[x = \frac{1382.4 - 590.4}{2.64}\] \[x = \frac{792}{2.64} = 300\] 5. Сумма всех платежей: Сумма всех платежей равна \(2x + y = 2 \cdot 300 + 590.4 = 600 + 590.4 = 1190.4\) тыс. рублей. 6. Проверка: Долг после первой выплаты: \(1.2 \cdot 800 - 300 = 960 - 300 = 660\) Долг после второй выплаты: \(1.2 \cdot 660 - 300 = 792 - 300 = 492\) Долг после третьей выплаты: \(1.2 \cdot 492 = 590.4\) Это и есть третий платеж, значит, все верно. Сумма всех платежей равна \(300 + 300 + 590.4 = 1190.4\)

Показать ход решения

1) Долг в январе 2027 года: 800 ⋅ 1,2 = 960 тыс. рублей. 2) Остаток долга после первого платежа: 960 − x тыс. рублей. 3) Долг в январе 2028 года: (960 − x) ⋅ 1,2 тыс. рублей. 4) Остаток долга после второго платежа: (960 − x) ⋅ 1,2 − x тыс. рублей. 5) Долг в январе 2029 года: ((960 − x) ⋅ 1,2 − x) ⋅ 1,2 тыс. рублей. 6) После третьего платежа долг выплачен полностью: ((960 − x) ⋅ 1,2 − x) ⋅ 1,2 − 590,4 = 0. 7) Решим уравнение: ((960 − x) ⋅ 1,2 − x) ⋅ 1,2 − 590,4 = 0. 1,44(960 − x) − 1,2x − 590,4 = 0 1382,4 − 1,44x − 1,2x − 590,4 = 0 2,64x = 792 x = 300 8) Сумма всех платежей равна 300 + 300 + 590,4 = 1190,4 тыс. рублей.

Ответ: Сумма всех платежей составит 2200 тыс. рублей.