Решите неравенство $ \frac{1}{x} \geq \frac{1}{x - 6} $.

Question

Вопрос: $Фото задания: Решите неравенство $ \frac{1}{x} \geq \frac{1}{x - 6} $.$ Фото задания

Accepted Answer

Перенесём все члены неравенства в одну сторону:

$ \frac{1}{x} - \frac{1}{x - 6} \geq 0 $

Приведём к общему знаменателю:

$ \frac{(x - 6) - x}{x(x - 6)} \geq 0 $

$ \frac{x - 6 - x}{x(x - 6)} \geq 0 $

$ \frac{-6}{x(x - 6)} \geq 0 $

Чтобы дробь была больше или равна нулю, при отрицательном числителе $ -6 $, знаменатель $ x(x - 6) $ должен быть отрицательным.

$ x(x - 6) < 0 $

Это неравенство решается методом интервалов. Корни знаменателя: $ x = 0 $ и $ x = 6 $.

Рассмотрим знаки произведения $ x(x - 6) $ на интервалах:

Если $ x < 0 $, то $ x < 0 $ и $ x - 6 < 0 $, произведение $ x(x - 6) > 0 $.
Если $ 0 < x < 6 $, то $ x > 0 $ и $ x - 6 < 0 $, произведение $ x(x - 6) < 0 $.
Если $ x > 6 $, то $ x > 0 $ и $ x - 6 > 0 $, произведение $ x(x - 6) > 0 $.

Нам нужен интервал, где $ x(x - 6) < 0 $, это $ (0; 6) $.

Также учтём, что знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $ x \neq 0 $ и $ x \neq 6 $.

Ответ: $ (0; 6) $

Решите неравенство \( \frac{1}{x} \geq \frac{1}{x - 6} \).