19. Решите неравенство log₂(x² + 7x + 10) > -2

Решение: 1. Преобразуем неравенство, используя свойства логарифмов: $$\log_2(x^2 + 7x + 10) > -2$$ $$x^2 + 7x + 10 > 2^{-2}$$ $$x^2 + 7x + 10 > \frac{1}{4}$$ $$x^2 + 7x + 10 - \frac{1}{4} > 0$$ $$x^2 + 7x + \frac{39}{4} > 0$$ 2. Найдем корни квадратного уравнения: $$x^2 + 7x + \frac{39}{4} = 0$$ $$D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{39}{4} = 49 - 39 = 10$$ $$x_1 = \frac{-7 + \sqrt{10}}{2}$$ $$x_2 = \frac{-7 - \sqrt{10}}{2}$$ 3. Определим знаки квадратного трехчлена на промежутках, образованных корнями: * $$x < \frac{-7 - \sqrt{10}}{2}$$: $$x^2 + 7x + \frac{39}{4} > 0$$ * $$\frac{-7 - \sqrt{10}}{2} < x < \frac{-7 + \sqrt{10}}{2}$$: $$x^2 + 7x + \frac{39}{4} < 0$$ * $$x > \frac{-7 + \sqrt{10}}{2}$$: $$x^2 + 7x + \frac{39}{4} > 0$$ 4. Учитывая ОДЗ $$x^2 + 7x + 10 > 0$$: * $$(x+2)(x+5) > 0$$ * $$x < -5$$ или $$x > -2$$ 5. Решением неравенства будет: $$(-\infty; -5) \cup (-2; +\infty) \cap ( (-\infty; \frac{-7 - \sqrt{10}}{2}) \cup (\frac{-7 + \sqrt{10}}{2}; +\infty) )$$ $$(-\infty; -5) \cup (-2; +\infty) \approx (-5.16; -1.84)$$ $$x < \frac{-7-\sqrt{10}}{2} \cup x > \frac{-7 + \sqrt{10}}{2}$$ ОДЗ: x^2 + 7x + 10 > 0 (x+5)(x+2) > 0 x < -5, x > -2 Корни уравнения: x1 = -1.84, x2 = -5.16 Ответ: ( -inf; -5.16) U (-1.84; +inf) Ответ: $$(-\infty; \frac{-7 - \sqrt{10}}{2}) \cup (\frac{-7 + \sqrt{10}}{2}; +\infty)$$