17. Треугольник АВС прямоугольный и равнобедренный с прямым углом С и гипотенузой 6 см. Отрезок СМ перпендикулярен плоскости треугольника; расстояние от точки М до прямой АВ равно 5 см. Найдите длину отрезка СМ.

Решение: 1. Так как треугольник ABC прямоугольный и равнобедренный с гипотенузой AB = 6 см, то катеты AC = BC. По теореме Пифагора, $$AC^2 + BC^2 = AB^2$$, поэтому $$2AC^2 = 6^2 = 36$$, следовательно, $$AC^2 = 18$$ и $$AC = BC = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$ см. 2. Обозначим середину AB как H. Так как треугольник ABC равнобедренный, то CH является медианой и высотой. Следовательно, CH перпендикулярен AB и $$CH = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}6 = 3$$ см. 3. Расстояние от точки M до прямой AB равно 5 см, то есть MH = 5 см. Так как CM перпендикулярна плоскости треугольника ABC, то CM перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку C, в том числе и CH. 4. Рассмотрим прямоугольный треугольник CMH. По теореме Пифагора, $$CM^2 + CH^2 = MH^2$$. Следовательно, $$CM^2 = MH^2 - CH^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$$, поэтому $$CM = \sqrt{16} = 4$$ см. Ответ: 4 см