Решите неравенство методом интервалов: (x^2-9)/(x-2) \(\u\)2264 0

Решение:

1. Находим корни числителя и знаменателя:

\( x^2 - 9 = 0 \) => \( x^2 = 9 \) => \( x = \pm 3 \)

\( x - 2 = 0 \) => \( x = 2 \)

2. Отмечаем эти точки на числовой прямой: -3, 2, 3.

3. Определяем знаки выражения в каждом интервале:

* \( x < -3 \): Возьмём \( x = -4 \). \( \frac{(-4)^2 - 9}{-4 - 2} = \frac{16 - 9}{-6} = \frac{7}{-6} < 0 \).

* \( -3 < x < 2 \): Возьмём \( x = 0 \). \( \frac{0^2 - 9}{0 - 2} = \frac{-9}{-2} = 4.5 > 0 \).

* \( 2 < x < 3 \): Возьмём \( x = 2.5 \). \( \frac{(2.5)^2 - 9}{2.5 - 2} = \frac{6.25 - 9}{0.5} = \frac{-2.75}{0.5} < 0 \).

* \( x > 3 \): Возьмём \( x = 4 \). \( \frac{4^2 - 9}{4 - 2} = \frac{16 - 9}{2} = \frac{7}{2} > 0 \).

4. Учитываем, что \( \le 0 \), значит, интервалы, где выражение отрицательное, включаются. Точки числителя (-3 и 3) включаются, а точка знаменателя (2) — нет.

Ответ: \( (-\infty; -3] \cup (2; 3] \).