4.Решите неравенство методом интервалов: 1)x(x+8)(x-10)≥0; 2) (4-x)(2x-5)<0; 3) x+8/x-6≥0; 4)(x+7)⁹(x+8)(x-4)⁶≤0

Решение:

1) $$x(x + 8)(x - 10) \ge 0$$

Найдем корни уравнения $$x(x + 8)(x - 10) = 0$$.

$$x_1 = 0$$, $$x_2 = -8$$, $$x_3 = 10$$.

Решением неравенства является: $$[-8; 0] \cup [10; +\infty)$$.

2) $$(4 - x)(2x - 5) < 0$$

$$(x - 4)(2x - 5) > 0$$

Найдем корни уравнения $$(x - 4)(2x - 5) = 0$$.

$$x_1 = 4$$, $$x_2 = \frac{5}{2} = 2.5$$.

Решением неравенства является: $$(-\infty; 2.5) \cup (4; +\infty)$$.

3) $$\frac{x + 8}{x - 6} \ge 0$$

Найдем корни уравнения $$x + 8 = 0$$.

$$x = -8$$.

Найдем значение x, при котором знаменатель обращается в 0: $$x - 6 = 0$$.

$$x = 6$$.

Решением неравенства является: $$(-\infty; -8] \cup (6; +\infty)$$.

4) $$(x + 7)^9(x + 8)(x - 4)^6 \le 0$$

Найдем корни уравнения $$(x + 7)^9(x + 8)(x - 4)^6 = 0$$.

$$x_1 = -7$$, $$x_2 = -8$$, $$x_3 = 4$$.

Решением неравенства является: $$(-\infty; -8] \cup [-7; -7] \cup [4; 4]$$, что равно $$(-\infty; -8] \cup \{-7\} \cup \{4\}$$.

Ответ: 1) $$[-8; 0] \cup [10; +\infty)$$; 2) $$(-\infty; 2.5) \cup (4; +\infty)$$; 3) $$(-\infty; -8] \cup (6; +\infty)$$; 4) $$(-\infty; -8] \cup \{-7\} \cup \{4\}$$.