Вариант 1 1. Постройте график функции у = х² - 2х - 8. Найдите с помощью графика: а) значение у при х = −1,5; б) значения х, при которых у = 3; в) промежуток, в котором функция возрастает.

Решение:

1. Постройте график функции $$y = x^2 - 2x - 8$$.

Это парабола, ветви направлены вверх.

Найдем вершину параболы: $$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$$.

$$y_в = 1^2 - 2 \cdot 1 - 8 = 1 - 2 - 8 = -9$$.

Вершина параболы (1; -9).

Найдем точки пересечения с осью Ох (у=0):

$$x^2 - 2x - 8 = 0$$.

По теореме Виета: $$x_1 + x_2 = 2$$, $$x_1 \cdot x_2 = -8$$.

$$x_1 = 4$$, $$x_2 = -2$$.

Точки пересечения с осью Ох: (4; 0) и (-2; 0).

Найдем точку пересечения с осью Оу (х=0):

$$y = 0^2 - 2 \cdot 0 - 8 = -8$$.

Точка пересечения с осью Оу: (0; -8).

а) Найдем значение у при х = -1,5.

Подставим значение х в уравнение функции: $$y = (-1.5)^2 - 2 \cdot (-1.5) - 8 = 2.25 + 3 - 8 = -2.75$$.

б) Найдем значения х, при которых у = 3.

Приравняем уравнение функции к 3: $$x^2 - 2x - 8 = 3$$.

$$x^2 - 2x - 11 = 0$$.

$$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 4 + 44 = 48$$.

$$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{48}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4\sqrt{3}}{2} = 1 + 2\sqrt{3} \approx 4.46$$.

$$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{48}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4\sqrt{3}}{2} = 1 - 2\sqrt{3} \approx -2.46$$.

в) Определим промежуток, в котором функция возрастает.

Функция возрастает на промежутке от вершины параболы до +∞, то есть при $$x \in (1; +\infty)$$.

Ответ: а) -2.75; б) $$1 + 2\sqrt{3} \approx 4.46$$, $$1 - 2\sqrt{3} \approx -2.46$$; в) $$(1; +\infty)$$.