Решите неравенство: \( \sin(x - \frac{\pi}{9}) \le \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Решение:

Сделаем замену переменной: пусть \( t = x - \frac{\pi}{9} \). Тогда неравенство примет вид:

\[ \sin t \le \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Найдём значения \( t \), для которых \( \sin t = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Это:

\[ t_1 = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \quad \text{и} \quad t_2 = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi k = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Неравенство \( \sin t \le \frac{\sqrt{3}}{2} \) выполняется, когда \( t \) находится в промежутках:

\[ \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \le t \le \frac{\pi}{3} + 2\pi + 2\pi k \]

То есть:

\[ \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \le t \le \frac{7\pi}{3} + 2\pi k \]

Теперь вернёмся к исходной переменной \( x \), подставив \( t = x - \frac{\pi}{9} \):

\[ \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \le x - \frac{\pi}{9} \le \frac{7\pi}{3} + 2\pi k \]

Прибавим \( \frac{\pi}{9} \) ко всем частям неравенства:

\[ \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{9} + 2\pi k \le x \le \frac{7\pi}{3} + \frac{\pi}{9} + 2\pi k \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{6\pi}{9} + \frac{\pi}{9} + 2\pi k \le x \le \frac{21\pi}{9} + \frac{\pi}{9} + 2\pi k \]

\[ \frac{7\pi}{9} + 2\pi k \le x \le \frac{22\pi}{9} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x \in \left[\frac{7\pi}{9} + 2\pi k; \frac{22\pi}{9} + 2\pi k\right], \quad k \in \mathbb{Z} \).