Решите уравнение: 5sin²x + √3 sinx·cosx + 6cos²x = 5

Решение:

Данное уравнение является однородным уравнением второй степени, если правую часть представить как \( 5(\sin^2 x + \cos^2 x) \).

\[ 5\sin^2 x + \sqrt{3}\sin x \cdot \cos x + 6\cos^2 x = 5(\sin^2 x + \cos^2 x) \]

\[ 5\sin^2 x + \sqrt{3}\sin x \cos x + 6\cos^2 x = 5\sin^2 x + 5\cos^2 x \]

Вычтем \( 5\sin^2 x \) из обеих частей:

\[ \sqrt{3}\sin x \cos x + 6\cos^2 x = 5\cos^2 x \]

Перенесём \( 5\cos^2 x \) в левую часть:

\[ \sqrt{3}\sin x \cos x + \cos^2 x = 0 \]

Вынесем \( \cos x \) за скобки:

\[ \cos x (\sqrt{3}\sin x + \cos x) = 0 \]

Это произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1. \( \cos x = 0 \)
2. \( \sqrt{3}\sin x + \cos x = 0 \)

Решим первое уравнение:

1) \( \cos x = 0 \) => \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)

Решим второе уравнение:

2) \( \sqrt{3}\sin x + \cos x = 0 \)

Разделим обе части на \( \cos x \) (предполагая, что \( \cos x \neq 0 \). Если \( \cos x = 0 \), то \( \sqrt{3}\sin x = 0 \), что невозможно, так как \( \sin x = \pm 1 \)).

\[ \sqrt{3}\tan x + 1 = 0 \]

\[ \sqrt{3}\tan x = -1 \]

\[ \tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}} \]

\[ x = \arctan\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \pi m \quad \text{где} \quad m \in \mathbb{Z} \]

\[ x = -\frac{\pi}{6} + \pi m, \quad m \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \) и \( x = -\frac{\pi}{6} + \pi m, \quad n, m \in \mathbb{Z} \).