Решите уравнение: 4sin²x + 11sinx - 3 = 0

Решение:

Это квадратное уравнение относительно \( \sin x \). Пусть \( y = \sin x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ 4y^2 + 11y - 3 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение:

1. Найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 121 + 48 = 169 \]
2. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня: \[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 + 13}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \] \[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 - 13}{2 \cdot 4} = \frac{-24}{8} = -3 \]

Теперь вернёмся к замене \( y = \sin x \).

1. \( \sin x = \frac{1}{4} \)
2. \( \sin x = -3 \)

Второе уравнение \( \sin x = -3 \) не имеет решений, так как область значений синуса — \( [-1; 1] \).

Для уравнения \( \sin x = \frac{1}{4} \) решения будут:

\[ x = \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + 2\pi k \quad \text{и} \quad x = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + 2\pi k \) и \( x = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \).