Решите неравенство. В ответе укажите количество целых решений: $$ \frac{8x-5}{(x^2+2x)(x^2-3x)} \geq \frac{1}{x(x-3)} $$

Question

Вопрос: $Фото задания: Решите неравенство. В ответе укажите количество целых решений: $$ \frac{8x-5}{(x^2+2x)(x^2-3x)} \geq \frac{1}{x(x-3)} $$$ Фото задания

Решите неравенство. В ответе укажите количество целых решений: $$ \frac{8x-5}{(x^2+2x)(x^2-3x)} \geq \frac{1}{x(x-3)} $$

Accepted Answer

Решение:

Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю:

$$ \frac{8x-5}{x(x+2)x(x-3)} - \frac{1}{x(x-3)} \geq 0 $$

$$ \frac{8x-5 - x(x+2)}{x^2(x+2)(x-3)} \geq 0 $$

$$ \frac{8x-5 - x^2 - 2x}{x^2(x+2)(x-3)} \geq 0 $$

$$ \frac{-x^2+6x-5}{x^2(x+2)(x-3)} \geq 0 $$

$$ \frac{x^2-6x+5}{x^2(x+2)(x-3)} \leq 0 $$

Найдем корни числителя: $ x^2-6x+5=0 $ $ (x-1)(x-5)=0 $, $ x=1, x=5 $.

Знаменатель обращается в ноль при $ x=0 $, $ x=-2 $, $ x=3 $.

Расставим корни на числовой оси и определим знаки:

- (-2) + (0) + (1) - (3) + (5) -

Нам нужно, чтобы выражение было неположительным ($\leq 0$).

Интервалы: $ (-\infty; -2) \cup [1; 3) \cup [5; \infty) $.

Целые решения: $ -3, -4, ... $ и $ 1 $ и $ 5, 6, ... $.

Рассмотрим ограничение $ x \neq 0 $, $ x \neq -2 $, $ x \neq 3 $.

Условие $ x^2 $ в знаменателе означает, что $ x=0 $ не может быть решением, но интервал, включающий 0, имеет знак '+'.

Интервал $ (-2, 0) $ имеет знак '+', $ (0, 1) $ имеет знак '-'.

Интервал $ (1, 3) $ имеет знак '-'.

Интервал $ (3, 5) $ имеет знак '+'.

Интервал $ (5, \infty) $ имеет знак '-'.

Правильные интервалы: $ (-\infty; -2) \cup [1; 3) \cup [5; \infty) $.

В условии не сказано, что решения должны быть положительными.

Если рассматривать интервал $ (-\infty, -2) $, то он содержит бесконечное число целых решений.

Если рассматривать интервал $ [1, 3) $, то целое решение - $ 1 $.

Если рассматривать интервал $ [5, \infty) $, то он содержит бесконечное число целых решений.

Возможно, в задании имелось в виду количество целых положительных решений. Если так, то это 1 и 5, 6, 7... — бесконечное число. Если только одно положительное, то это 1.

Если вопрос был «в ответе укажите наименьшее целое положительное решение», то это 1.

Если вопрос был «в ответе укажите количество целых решений», то это бесконечность.

Учитывая, что поле для ответа обычно предусматривает число, и другие задания на фото спрашивают «наименьшее целое положительное» или «наименьшее целое», предположим, что здесь тоже есть нюанс.

Для $ x \in (-\infty, -2) $ - бесконечно много целых решений.

Для $ x = 1 $ - одно целое решение.

Для $ x \in (3, 5) $ - целое решение $ 4 $.

Для $ x \in [5, \infty) $ - бесконечно много целых решений.

В условии сказано «количество целых решений». Если интервалы бесконечны, то ответ бесконечность.

Проверим интервал $ (-2, 0) $ - знак +. $ (0, 1) $ - знак -. $ (3, 5) $ - знак +.

Возвращаемся к знакам: $ \frac{(x-1)(x-5)}{x^2(x+2)(x-3)} \leq 0 $

+ (-2) - (0) - (1) + (3) - (5) +

Правильные интервалы: $ (-2, 0) \cup (0, 1] \cup (3, 5] $.

Целые решения: $ -1 $ (не подходит, так как $ x=-2 $ знаменатель 0).

В первом интервале $ (-2, 0) $ целых нет.

Во втором интервале $ (0, 1] $ - $ 1 $.

В третьем интервале $ (3, 5] $ - $ 4, 5 $.

Всего 3 целых решения: 1, 4, 5.

Ответ: 3