Решите неравенство. В ответе укажите наименьшее целое положительное решение: $$ 1 + \frac{14}{3^x-9} + \frac{48}{9^x-2 \cdot 3^x+81} \geq 0 $$

Question

Вопрос: $Фото задания: Решите неравенство. В ответе укажите наименьшее целое положительное решение: $$ 1 + \frac{14}{3^x-9} + \frac{48}{9^x-2…$ Фото задания

Решите неравенство. В ответе укажите наименьшее целое положительное решение: $$ 1 + \frac{14}{3^x-9} + \frac{48}{9^x-2 \cdot 3^x+81} \geq 0 $$

Accepted Answer

Решение:

Заметим, что $ 9^x = (3^x)^2 $ и $ 81 = 9^2 = (3^2)^2 $.

Пусть $ y = 3^x $. Тогда неравенство примет вид:

$$ 1 + \frac{14}{y-9} + \frac{48}{y^2-2y+81} \geq 0 $$

Вторая дробь: $ y^2-2y+81 = (y-1)^2 + 80 $. Это выражение всегда положительно и не равно нулю.

Приведём к общему знаменателю:

$$ \frac{(y-9)(y^2-2y+81) + 14(y^2-2y+81) + 48(y-9)}{(y-9)(y^2-2y+81)} \geq 0 $$

Знаменатель $ y-9 $ может быть как положительным, так и отрицательным. $ y^2-2y+81 > 0 $ для всех $ y $.

Раскроем скобки в числителе:

$ (y^3 - 2y^2 + 81y - 9y^2 + 18y - 729) + (14y^2 - 28y + 1134) + (48y - 432) \geq 0 $

$ y^3 + (-2-9+14)y^2 + (81+18-28+48)y + (-729+1134-432) \geq 0 $

$ y^3 + 3y^2 + 119y + (-729+1134-432) \geq 0 $

$ y^3 + 3y^2 + 119y + (-729+702) \geq 0 $

$ y^3 + 3y^2 + 119y - 27 \geq 0 $

Попробуем найти целочисленные корни многочлена $ P(y) = y^3 + 3y^2 + 119y - 27 $.

Делители числа 27: $ \pm 1, \pm 3, \pm 9, \pm 27 $.

$ P(1) = 1+3+119-27 = 96 $ (не 0).

$ P(-1) = -1+3-119-27 = -144 $ (не 0).

$ P(3) = 27 + 3(9) + 119(3) - 27 = 27 + 27 + 357 - 27 = 384 $ (не 0).

$ P(-3) = -27 + 3(9) + 119(-3) - 27 = -27 + 27 - 357 - 27 = -384 $ (не 0).

$ P(0.25) = (1/4)^3 + 3(1/4)^2 + 119(1/4) - 27 = 1/64 + 3/16 + 119/4 - 27 = (1 + 12 + 1904 - 1728)/64 = 189/64 > 0 $.

$ y = 3^x $, значит $ y > 0 $.

Рассмотрим знаменатель $ y - 9 $.

Случай 1: $ y - 9 > 0 $ => $ y > 9 $.

Тогда $ y^3 + 3y^2 + 119y - 27 \geq 0 $.

Так как $ y > 9 $, то $ y^3 $ велико, $ 3y^2 $ велико, $ 119y $ велико. $ y^3 + 3y^2 + 119y - 27 $ будет положительным.

Случай 2: $ y - 9 < 0 $ => $ 0 < y < 9 $.

Тогда $ y^3 + 3y^2 + 119y - 27 \leq 0 $.

При $ y=1 $, $ 1 + 3 + 119 - 27 = 96 $ (не подходит).

При $ y=0.2 $, $ (0.2)^3 + 3(0.2)^2 + 119(0.2) - 27 = 0.008 + 3(0.04) + 23.8 - 27 = 0.008 + 0.12 + 23.8 - 27 = 23.928 - 27 = -3.072 $ (подходит).

Таким образом, нам нужно найти $ y = 3^x $ такое, что $ 0 < y < 9 $ и $ y^3 + 3y^2 + 119y - 27 \leq 0 $.

Функция $ f(y) = y^3 + 3y^2 + 119y - 27 $ возрастает, так как $ f'(y) = 3y^2 + 6y + 119 $ (дискриминант $ 6^2 - 4(3)(119) < 0 $, ветви параболы вверх, значит $ f'(y) > 0 $ для всех $ y $).

Значит, $ f(y) $ имеет один корень. Найдем его приближённо.

$ f(0.2) = -3.072 $.

$ f(0.3) = (0.3)^3 + 3(0.3)^2 + 119(0.3) - 27 = 0.027 + 3(0.09) + 35.7 - 27 = 0.027 + 0.27 + 35.7 - 27 = 8.997 $.

Корень находится между 0.2 и 0.3. Пусть этот корень $ y_0 $.

Нам нужно $ y_0 \leq y < 9 $.

$ y_0 = 3^x $.

$ 3^{x_0} \leq 3^x < 9 $.

$ x_0 \leq x < 2 $.

$ x_0 $ - это значение $ x $, для которого $ 3^x = y_0 $.

Так как $ 0.2 < y_0 < 0.3 $, то $ 3^{-1} = 1/3 \approx 0.333 $.

$ 3^{-2} = 1/9 \approx 0.111 $.

Значит $ x_0 $ находится между -1 и -2. $ -2 < x_0 < -1 $.

Таким образом, $ x_0 \leq x < 2 $.

Наименьшее целое положительное решение — $ 1 $.

Ответ: 1