Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Обозначим \( a = \log_4(64x) \) и \( b = \log_4 x-3 \).
Тогда \( a = \log_4 64 + \log_4 x = 3 + \log_4 x \).
Заметим, что \( b = \log_4 x - 3 \).
Значит, \( a = -b \).
Теперь преобразуем правую часть:
$$ \frac{\log_4 x^4+16}{\log_4^2x-9} = \frac{4 \log_4 x+16}{(\log_4 x-3)(\log_4 x+3)} = \frac{4(\log_4 x+4)}{(\log_4 x-3)(\log_4 x+3)} $$
Неравенство примет вид:
$$ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq \frac{4(\log_4 x+4)}{b(\log_4 x+3)} $$
Подставим \( a = -b \):
$$ \frac{-b}{b} + \frac{b}{-b} \geq \frac{4(\log_4 x+4)}{b(\log_4 x+3)} $$
$$ -1 - 1 \geq \frac{4(\log_4 x+4)}{b(\log_4 x+3)} $$
$$ -2 \geq \frac{4(\log_4 x+4)}{b(\log_4 x+3)} $$
$$ -2b(\log_4 x+3) \geq 4(\log_4 x+4) $$
$$ -2(\log_4 x-3)(\log_4 x+3) \geq 4(\log_4 x+4) $$
$$ -2(\log_4^2 x - 9) \geq 4\log_4 x+16 $$
$$ -2\log_4^2 x + 18 \geq 4\log_4 x+16 $$
$$ -2\log_4^2 x - 4\log_4 x + 2 \geq 0 $$
Разделим на -2 и сменим знак неравенства:
$$ \log_4^2 x + 2\log_4 x - 1 \leq 0 $$
Пусть \( t = \log_4 x \).
$$ t^2 + 2t - 1 \leq 0 $$
Найдем корни уравнения \( t^2 + 2t - 1 = 0 \):
$$ t = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2} $$
Итак, \( -1 - \sqrt{2} \leq t \leq -1 + \sqrt{2} \).
Подставим обратно \( t = \log_4 x \):
$$ -1 - \sqrt{2} \leq \log_4 x \leq -1 + \sqrt{2} $$
Возведём 4 в степень:
$$ 4^{-1 - \sqrt{2}} \leq x \leq 4^{-1 + \sqrt{2}} $$
Теперь учтём ограничения:
1. \( \log_4(64x) \neq 0 \) => \( 64x \neq 1 \) => \( x \neq 1/64 \).
2. \( \log_4 x - 3 \neq 0 \) => \( \log_4 x \neq 3 \) => \( x \neq 4^3 = 64 \).
3. \( \log_4(64x) \neq 0 \) => \( x \neq 1/64 \).
4. \( \log_4 x + 3 \neq 0 \) => \( \log_4 x \neq -3 \) => \( x \neq 4^{-3} = 1/64 \).
5. \( \log_4 x \neq 0 \) (из \( \log_4(64x) \)) => \( x \neq 1 \).
6. \( x > 0 \) (из \( \log_4 x \)).
\( \sqrt{2} \approx 1.414 \).
\( -1 - \sqrt{2} \approx -2.414 \).
\( -1 + \sqrt{2} \approx 0.414 \).
\( 4^{-2.414} \approx 4^{-2.5} = 1/4^{2.5} = 1/(16 \sqrt{4}) = 1/32 = 0.03125 \).
\( 4^{0.414} \approx 4^{0.5} = \sqrt{4} = 2 \).
Итак, \( 4^{-1 - \sqrt{2}} \leq x \leq 4^{-1 + \sqrt{2}} \).
\( 0.03125 \leq x \leq 4^{0.414} \).
Нам нужно найти наименьшее целое решение.
\( 4^{-1 + \sqrt{2}} \approx 4^{0.414} \).
\( 4^{0.414} \). \( 4^{0.5} = 2 \).
\( 4^{0.25} = \sqrt{2} \approx 1.414 \).
\( 4^{0.414} \) будет немного меньше 2.
\( 4^{0.414} \approx 1.9 \).
Значит, \( 0.03125 \leq x \leq 1.9 \).
При этом \( x \neq 1/64 \) (0.015625), \( x \neq 1 \), \( x \neq 64 \).
Наименьшее целое положительное число, удовлетворяющее \( 0.03125 \leq x \leq 1.9 \) и \( x \neq 1 \) - это \( x=1 \) (но оно исключено).
Следующее целое число - \( x=2 \). Но \( 2 \) больше \( 1.9 \).
Возможно, ошибка в расчетах.
Пересчитаем \( 4^{-1 + \sqrt{2}} \).
\( 4^{-1 + \sqrt{2}} = 4^{-1} \cdot 4^{\sqrt{2}} = \frac{1}{4} \cdot 4^{\sqrt{2}} \).
\( 4^{\sqrt{2}} = (2^2)^{\sqrt{2}} = 2^{2\sqrt{2}} \approx 2^{2.828} \).
\( 2^2 = 4 \), \( 2^3 = 8 \).
\( 2^{2.828} \) находится между 4 и 8.
\( 2^{2.828} \approx 7.1 \).
\( \frac{1}{4} \cdot 7.1 \approx 1.77 \).
Значит, \( 0.03125 \leq x \leq 1.77 \).
Исключения: \( x \neq 1/64 \), \( x \neq 1 \), \( x \neq 64 \).
Наименьшее целое положительное число в этом интервале, кроме 1, не существует.
Проверим ограничения ещё раз.
\( a = \log_4(64x) = 3 + \log_4 x \).
\( b = \log_4 x - 3 \).
\( a = -b \).
\( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{-b}{b} + \frac{b}{-b} = -1 - 1 = -2 \).
Неравенство: \( -2 \geq \frac{4(\log_4 x+4)}{(\log_4 x-3)(\log_4 x+3)} \).
\( -2 \geq \frac{4(\log_4 x+4)}{\log_4^2 x - 9} \).
\( -2(\log_4^2 x - 9) \geq 4(\log_4 x+4) \) (если \( \log_4^2 x - 9 > 0 \)).
\( -2\log_4^2 x + 18 \geq 4\log_4 x + 16 \).
\( -2\log_4^2 x - 4\log_4 x + 2 \geq 0 \).
\( \log_4^2 x + 2\log_4 x - 1 \leq 0 \).
\( -1 - \sqrt{2} \leq \log_4 x \leq -1 + \sqrt{2} \).
\( 4^{-1 - \sqrt{2}} \leq x \leq 4^{-1 + \sqrt{2}} \).
\( x \neq 64 \) (где \( \log_4 x = 3 \)).
\( x \neq 1 \) (где \( \log_4 x = 0 \)).
\( x \neq 1/64 \) (где \( \log_4 x = -3 \)).
\( x > 0 \).
\( 4^{-1 - \sqrt{2}} \approx 0.03 \).
\( 4^{-1 + \sqrt{2}} \approx 1.77 \).
\( 0.03 \leq x \leq 1.77 \).
Целые решения: \( 1 \).
Но \( x=1 \) не подходит, так как \( \log_4 x = 0 \), и \( -1 \leq 0 \leq 0.414 \) подходит.
Проверим, почему \( x=1 \) не подходит.
Если \( x=1 \), то \( \log_4 x = 0 \).
\( a = \log_4 64 = 3 \).
\( b = \log_4 1 - 3 = -3 \).
\( a = -b \) (3 = -(-3)).
Левая часть: \( a/b + b/a = 3/(-3) + (-3)/3 = -1 - 1 = -2 \).
Правая часть: \( \frac{4 \log_4 x+16}{\log_4^2 x-9} = \frac{4(0)+16}{0^2-9} = \frac{16}{-9} \).
\( -2 \geq -16/9 \) => \( -18/9 \geq -16/9 \) - неверно.
Значит, \( x=1 \) не подходит.
Проверим \( x \neq 1/64 \).
\( 4^{-1 - \sqrt{2}} \approx 0.03 \).
\( 1/64 = 0.015625 \).
\( x \geq 0.03 \).
\( x \leq 1.77 \).
Наименьшее целое положительное решение.
Так как \( x=1 \) исключено, и \( x=2 \) больше \( 1.77 \), то наименьшее целое положительное решение отсутствует.
Если бы было \( \log_4^2 x + 2\log_4 x - 1 \geq 0 \), то \( \log_4 x \leq -1 - \sqrt{2} \) или \( \log_4 x \geq -1 + \sqrt{2} \).
\( x \leq 4^{-1 - \sqrt{2}} \) или \( x \geq 4^{-1 + \sqrt{2}} \).
\( x \leq 0.03 \) или \( x \geq 1.77 \).
Наименьшее целое положительное решение здесь - \( 2 \).
У нас \( \leq 0 \), значит \( 4^{-1 - \sqrt{2}} \leq x \leq 4^{-1 + \sqrt{2}} \).
\( 0.03 \leq x \leq 1.77 \).
Единственное целое число в этом интервале - \( 1 \).
Но \( x=1 \) не является решением.
Возможно, ошибка в преобразовании неравенства.
\( -2 \geq \frac{4(\log_4 x+4)}{\log_4^2 x - 9} \).
\( \frac{4(\log_4 x+4)}{\log_4^2 x - 9} + 2 \leq 0 \).
\( \frac{4\log_4 x+16 + 2(\log_4^2 x - 9)}{\log_4^2 x - 9} \leq 0 \).
\( \frac{2\log_4^2 x + 4\log_4 x + 16 - 18}{\log_4^2 x - 9} \leq 0 \).
\( \frac{2\log_4^2 x + 4\log_4 x - 2}{\log_4^2 x - 9} \leq 0 \).
\( \frac{\log_4^2 x + 2\log_4 x - 1}{\log_4^2 x - 9} \leq 0 \).
Пусть \( t = \log_4 x \).
\( \frac{t^2 + 2t - 1}{t^2 - 9} \leq 0 \).
Корни числителя: \( t_1 = -1 - \sqrt{2} \), \( t_2 = -1 + \sqrt{2} \).
Корни знаменателя: \( t_3 = -3 \), \( t_4 = 3 \).
Знаменатель \( t^2 - 9 \) обращается в ноль при \( t = \pm 3 \).
Числитель \( t^2 + 2t - 1 \) обращается в ноль при \( t = -1 \pm \sqrt{2} \).
Расставим корни на числовой оси для \( t \): \( -3, -1-\sqrt{2}, -1+\sqrt{2}, 3 \).
\( -3 \approx -3 \).
\( -1 - \sqrt{2} \approx -2.414 \).
\( -1 + \sqrt{2} \approx 0.414 \).
\( 3 \approx 3 \).
Интервалы для \( t \):
\( (-\infty; -3) \): \( \frac{+}{+} = + \).
\( (-3; -1-\sqrt{2}) \): \( \frac{+}{-} = - \).
\( (-1-\sqrt{2}; -1+\sqrt{2}) \): \( \frac{-}{-} = + \).
\( (-1+\sqrt{2}; 3) \): \( \frac{-}{+} = - \).
\( (3; \infty) \): \( \frac{+}{+} = + \).
Нам нужно \( \leq 0 \).
Интервалы: \( (-3; -1-\sqrt{2}] \cup (-1+\sqrt{2}; 3) \).
Теперь перейдём к \( x \), учитывая \( t = \log_4 x \).
\( -3 < \log_4 x \leq -1 - \sqrt{2} \) => \( 4^{-3} < x \leq 4^{-1 - \sqrt{2}} \).
\( 1/64 < x \leq 4^{-1 - \sqrt{2}} \).
\( 0.015625 < x \leq 0.03 \).
\( -1 + \sqrt{2} < \log_4 x < 3 \) => \( 4^{-1 + \sqrt{2}} < x < 4^3 \).
\( 1.77 < x < 64 \).
Учтём ограничения: \( x>0 \), \( x \neq 1/64 \), \( x \neq 64 \), \( x \neq 1 \).
Интервал \( (0.015625; 0.03] \). Целых решений нет.
Интервал \( (1.77; 64) \). Целые решения: \( 2, 3, ..., 63 \).
Наименьшее целое решение - \( 2 \).
Ответ: 2
