Решите неравенство. В ответе укажите наименьшее целое решение: \(\frac{\log_4(64x)}{\log_4x-3}+\frac{\log_4x-3}{\log_4(64x)}\ge\frac{\log_4x^4+16}{\log_4^2x-9}\).

Положим \(a=\log_4x\). Тогда \(\log_4(64x)=a+3\), а область допустимых значений: \(a\ne\pm3\).

Получаем:

\[\frac{a+3}{a-3}+\frac{a-3}{a+3}\ge\frac{4a+16}{a^2-9}.\]

После преобразования:

\[\frac{2(a^2+9)}{a^2-9}-\frac{4a+16}{a^2-9}\ge0,\]

\[\frac{2(a-1)^2}{a^2-9}\ge0.\]

Отсюда \(a<-3\), \(a>3\) или \(a=1\). Для положительных целых \(x\) наименьшее значение даёт \(a=1\):

\[x=4^1=4.\]

Ответ: 4