20. Решите неравенство (6x - 5)² < \sqrt{5}(6x - 5).

Для решения неравенства $$(6x - 5)^2 < \sqrt{5}(6x - 5)$$ выполним следующие шаги: 1. Перенесем все члены неравенства в левую часть: $$(6x - 5)^2 - \sqrt{5}(6x - 5) < 0$$ 2. Вынесем общий множитель $$(6x - 5)$$ за скобки: $$(6x - 5)((6x - 5) - \sqrt{5}) < 0$$ 3. Найдем нули каждого множителя: * $$6x - 5 = 0 \Rightarrow 6x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{6}$$ * $$6x - 5 - \sqrt{5} = 0 \Rightarrow 6x = 5 + \sqrt{5} \Rightarrow x = \frac{5 + \sqrt{5}}{6}$$ 4. Определим знаки на интервалах: Рассмотрим числовую прямую и отметим на ней точки $$\frac{5}{6}$$ и $$\frac{5 + \sqrt{5}}{6}$$. Эти точки разбивают прямую на три интервала: * $$x < \frac{5}{6}$$ * $$\frac{5}{6} < x < \frac{5 + \sqrt{5}}{6}$$ * $$x > \frac{5 + \sqrt{5}}{6}$$ Для каждого интервала определим знак выражения $$(6x - 5)((6x - 5) - \sqrt{5})$$: * Если $$x < \frac{5}{6}$$, то $$(6x - 5) < 0$$ и $$(6x - 5 - \sqrt{5}) < 0$$, значит, произведение $$(6x - 5)((6x - 5) - \sqrt{5}) > 0$$. * Если $$\frac{5}{6} < x < \frac{5 + \sqrt{5}}{6}$$, то $$(6x - 5) > 0$$ и $$(6x - 5 - \sqrt{5}) < 0$$, значит, произведение $$(6x - 5)((6x - 5) - \sqrt{5}) < 0$$. * Если $$x > \frac{5 + \sqrt{5}}{6}$$, то $$(6x - 5) > 0$$ и $$(6x - 5 - \sqrt{5}) > 0$$, значит, произведение $$(6x - 5)((6x - 5) - \sqrt{5}) > 0$$. 5. Выберем интервал, где выражение меньше нуля: Неравенство $$(6x - 5)((6x - 5) - \sqrt{5}) < 0$$ выполняется при $$\frac{5}{6} < x < \frac{5 + \sqrt{5}}{6}$$. Ответ: $$x \in (\frac{5}{6}; \frac{5 + \sqrt{5}}{6})$$