Решите неравенство: (x^2+x-12)(x^2-9x+18) ≥ 0.

Решение:

Разложим на множители квадратные трёхчлены:

\( x^2+x-12 = (x+4)(x-3) \)

\( x^2-9x+18 = (x-3)(x-6) \)

Теперь неравенство примет вид:

\( (x+4)(x-3)(x-3)(x-6) \geq 0 \)

\( (x+4)(x-3)^2(x-6) \geq 0 \)

Критическими точками являются \( x = -4, x = 3, x = 6 \).

Рассмотрим знаки произведения на интервалах:

• При \( x < -4 \): \( (-)(+)^2(-) = (-) \)
• При \( -4 < x < 3 \): \( (+)(+)^2(-) = (-) \)
• При \( 3 < x < 6 \): \( (+)(+)^2(+) = (+) \)
• При \( x > 6 \): \( (+)(+)^2(+) = (+) \)

Учитывая, что \( (x-3)^2 \geq 0 \) при любом \( x \), и точку \( x=3 \) включаем в решение.

Таким образом, неравенство верно при \( x = -4 \) или \( 3 \leq x \leq 6 \) или \( x \geq 6 \).

Объединяя интервалы, получаем \( x = -4 \) или \( x \geq 3 \).

Ответ: \( x = -4 \) или \( x \geq 3 \).