Решите неравенство: (x²+2x-8)(x²-9x+14) ≥ 0.

Решение:

Разложим на множители квадратные трёхчлены:

\( x^2+2x-8 = (x+4)(x-2) \)

\( x^2-9x+14 = (x-2)(x-7) \)

Теперь неравенство примет вид:

\( (x+4)(x-2)(x-2)(x-7) \geq 0 \)

\( (x+4)(x-2)^2(x-7) \geq 0 \)

Критическими точками являются \( x = -4, x = 2, x = 7 \).

Рассмотрим знаки произведения на интервалах:

• При \( x < -4 \): \( (-)(+)^2(-) = (-) \)
• При \( -4 < x < 2 \): \( (+)(+)^2(-) = (-) \)
• При \( 2 < x < 7 \): \( (+)(+)^2(+) = (+) \)
• При \( x > 7 \): \( (+)(+)^2(+) = (+) \)

Учитывая, что \( (x-2)^2 \geq 0 \) при любом \( x \), и точку \( x=2 \) включаем в решение.

Таким образом, неравенство верно при \( x = -4 \) или \( 2 \leq x \leq 7 \) или \( x \geq 7 \).

Объединяя интервалы, получаем \( x = -4 \) или \( x \geq 2 \).

Ответ: \( x = -4 \) или \( x \geq 2 \).