Решите неравенство: (x²-2x-8)(x² - 9x + 20) ≥ 0.

Решение:

Разложим на множители квадратные трёхчлены:

\( x^2-2x-8 = (x-4)(x+2) \)

\( x^2-9x+20 = (x-4)(x-5) \)

Теперь неравенство примет вид:

\( (x-4)(x+2)(x-4)(x-5) \geq 0 \)

\( (x-4)^2(x+2)(x-5) \geq 0 \)

Критическими точками являются \( x = -2, x = 4, x = 5 \).

Рассмотрим знаки произведения на интервалах:

• При \( x < -2 \): \( (-)^2(-)(-) = (+) \)
• При \( -2 < x < 4 \): \( (-)^2(-)(-) = (+) \)
• При \( 4 < x < 5 \): \( (+)^2(+)(-) = (-) \)
• При \( x > 5 \): \( (+)^2(+)(+) = (+) \)

Учитывая, что \( (x-4)^2 \geq 0 \) при любом \( x \), и точку \( x=4 \) включаем в решение.

Таким образом, неравенство верно при \( x = 4 \) или \( x \leq -2 \) или \( x \geq 5 \).

Объединяя интервалы, получаем \( x \leq -2 \) или \( x \geq 5 \) или \( x = 4 \).

Ответ: \( x \leq -2 \) или \( x = 4 \) или \( x \geq 5 \).