6. Решите неравенство: a) log₁⁄₂(x-3)+log₁⁄₂(9-x) ≥−3; б) *log₂²x-3 log₂ x ≤ 4.

6. Решите неравенство:

a) $$log_{\frac{1}{2}} (x-3) + log_{\frac{1}{2}} (9-x) \ge -3$$

ОДЗ:

$$x-3 > 0$$ и $$9-x > 0$$

$$x > 3$$ и $$x < 9$$

$$3 < x < 9$$

$$log_{\frac{1}{2}} (x-3) + log_{\frac{1}{2}} (9-x) \ge -3$$

$$log_{\frac{1}{2}} ((x-3)(9-x)) \ge -3$$

$$(x-3)(9-x) \le (\frac{1}{2})^{-3}$$

$$(x-3)(9-x) \le 8$$

$$-x^2+12x-27 \le 8$$

$$x^2-12x+35 \ge 0$$

$$(x-5)(x-7) \ge 0$$

$$x \le 5$$ или $$x \ge 7$$

Учитывая ОДЗ, получаем

$$3 < x \le 5$$ или $$7 \le x < 9$$

Ответ: $$(3; 5] \cup [7; 9)$$

б) $$(log_2 x)^2 - 3 log_2 x \le 4$$

ОДЗ: $$x > 0$$

Пусть $$t = log_2 x$$, тогда

$$t^2 - 3t \le 4$$

$$t^2 - 3t - 4 \le 0$$

$$(t-4)(t+1) \le 0$$

$$-1 \le t \le 4$$

$$-1 \le log_2 x \le 4$$

$$2^{-1} \le x \le 2^4$$

$$\frac{1}{2} \le x \le 16$$

Ответ: [0.5; 16]