306. Решите неравенство: а) $$2x^{2}+13x-7 > 0$$; б) $$-9x^{2}+12x-4 < 0$$; в) $$6x^{2}-13x+5 \le 0$$; г) $$-2x^{2}-5x+18 \le 0$$; д) $$3x^{2}-2x > 0$$; е) $$8-x^{2} < 0$$.

Решим каждое неравенство по отдельности:

а) $$2x^{2}+13x-7 > 0$$

Найдем корни квадратного уравнения $$2x^{2}+13x-7 = 0$$

$$D = 13^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 169 + 56 = 225$$

$$x_1 = \frac{-13 - 15}{4} = \frac{-28}{4} = -7$$

$$x_2 = \frac{-13 + 15}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$$

Неравенство $$2x^{2}+13x-7 > 0$$ выполняется вне корней, так как ветви параболы направлены вверх.

$$x \in (-\infty; -7) \cup (0.5; +\infty)$$

б) $$-9x^{2}+12x-4 < 0$$

Найдем корни квадратного уравнения $$-9x^{2}+12x-4 = 0$$

$$D = 12^2 - 4 \cdot (-9) \cdot (-4) = 144 - 144 = 0$$

$$x = \frac{-12}{-18} = \frac{2}{3}$$

$$-9x^{2}+12x-4 = -(3x-2)^2$$

Неравенство $$-(3x-2)^2 < 0$$ выполняется при всех $$x$$, кроме $$x = \frac{2}{3}$$, так как квадрат любого числа меньше 0, за исключением 0.

$$x \in (-\infty; \frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3}; +\infty)$$

в) $$6x^{2}-13x+5 \le 0$$

Найдем корни квадратного уравнения $$6x^{2}-13x+5 = 0$$

$$D = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 5 = 169 - 120 = 49$$

$$x_1 = \frac{13 - 7}{12} = \frac{6}{12} = 0.5$$

$$x_2 = \frac{13 + 7}{12} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$$

Неравенство $$6x^{2}-13x+5 \le 0$$ выполняется между корнями, так как ветви параболы направлены вверх.

$$x \in [0.5; \frac{5}{3}]$$

г) $$-2x^{2}-5x+18 \le 0$$

Найдем корни квадратного уравнения $$-2x^{2}-5x+18 = 0$$

$$D = (-5)^2 - 4 \cdot (-2) \cdot 18 = 25 + 144 = 169$$

$$x_1 = \frac{5 - 13}{-4} = \frac{-8}{-4} = 2$$

$$x_2 = \frac{5 + 13}{-4} = \frac{18}{-4} = -4.5$$

Неравенство $$-2x^{2}-5x+18 \le 0$$ выполняется вне корней, так как ветви параболы направлены вниз.

$$x \in (-\infty; -4.5] \cup [2; +\infty)$$

д) $$3x^{2}-2x > 0$$

Найдем корни квадратного уравнения $$3x^{2}-2x = 0$$

$$x(3x - 2) = 0$$

$$x_1 = 0$$

$$x_2 = \frac{2}{3}$$

Неравенство $$3x^{2}-2x > 0$$ выполняется вне корней, так как ветви параболы направлены вверх.

$$x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{2}{3}; +\infty)$$

е) $$8-x^{2} < 0$$

Найдем корни квадратного уравнения $$8-x^{2} = 0$$

$$x^{2} = 8$$

$$x_1 = -2\sqrt{2}, x_2 = 2\sqrt{2}$$

Неравенство $$8-x^{2} < 0$$ выполняется вне корней, так как ветви параболы направлены вниз.

$$x \in (-\infty; -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; +\infty)$$

Ответ: а) $$x \in (-\infty; -7) \cup (0.5; +\infty)$$, б) $$x \in (-\infty; \frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3}; +\infty)$$, в) $$x \in [0.5; \frac{5}{3}]$$, г) $$x \in (-\infty; -4.5] \cup [2; +\infty)$$, д) $$x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{2}{3}; +\infty)$$, е) $$x \in (-\infty; -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; +\infty)$$