304. Решите неравенство: а) $$x^{2}+2x-48 < 0$$; б) $$2x^{2}-7x+6 > 0$$; в) $$-x^{2}+2x+15 < 0$$; г) $$-5x^{2}+11x-6 > 0$$; д) $$4x^{2}-12x+9 > 0$$; е) $$25x^{2}+30x+9 < 0$$; ж) $$-10x^{2}+9x > 0$$; з) $$-2x^{2}+7x < 0$$.

Решим каждое неравенство по отдельности.

а) $$x^{2}+2x-48 < 0$$

Найдем корни квадратного уравнения $$x^{2}+2x-48 = 0$$

По теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = -2$$

$$x_1 \cdot x_2 = -48$$

$$x_1 = -8, x_2 = 6$$

Неравенство $$x^{2}+2x-48 < 0$$ выполняется между корнями, так как ветви параболы направлены вверх.

$$x \in (-8;6)$$

б) $$2x^{2}-7x+6 > 0$$

Найдем корни квадратного уравнения $$2x^{2}-7x+6 = 0$$

$$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1$$

$$x_1 = \frac{7 - 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5$$

$$x_2 = \frac{7 + 1}{4} = \frac{8}{4} = 2$$

Неравенство $$2x^{2}-7x+6 > 0$$ выполняется вне корней, так как ветви параболы направлены вверх.

$$x \in (-\infty; 1.5) \cup (2; +\infty)$$

в) $$-x^{2}+2x+15 < 0$$

Найдем корни квадратного уравнения $$-x^{2}+2x+15 = 0$$

$$D = 2^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 15 = 4 + 60 = 64$$

$$x_1 = \frac{-2 - 8}{-2} = \frac{-10}{-2} = 5$$

$$x_2 = \frac{-2 + 8}{-2} = \frac{6}{-2} = -3$$

Неравенство $$-x^{2}+2x+15 < 0$$ выполняется вне корней, так как ветви параболы направлены вниз.

$$x \in (-\infty; -3) \cup (5; +\infty)$$

г) $$-5x^{2}+11x-6 > 0$$

Найдем корни квадратного уравнения $$-5x^{2}+11x-6 = 0$$

$$D = 11^2 - 4 \cdot (-5) \cdot (-6) = 121 - 120 = 1$$

$$x_1 = \frac{-11 - 1}{-10} = \frac{-12}{-10} = \frac{6}{5} = 1.2$$

$$x_2 = \frac{-11 + 1}{-10} = \frac{-10}{-10} = 1$$

Неравенство $$-5x^{2}+11x-6 > 0$$ выполняется между корнями, так как ветви параболы направлены вниз.

$$x \in (1; 1.2)$$

д) $$4x^{2}-12x+9 > 0$$

Найдем корни квадратного уравнения $$4x^{2}-12x+9 = 0$$

$$D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0$$

$$x = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5$$

$$4x^{2}-12x+9 = (2x - 3)^2$$

Неравенство $$(2x - 3)^2 > 0$$ выполняется при всех $$x$$, кроме $$x = 1.5$$, так как квадрат любого числа больше 0, за исключением 0.

$$x \in (-\infty; 1.5) \cup (1.5; +\infty)$$

е) $$25x^{2}+30x+9 < 0$$

Найдем корни квадратного уравнения $$25x^{2}+30x+9 = 0$$

$$D = 30^2 - 4 \cdot 25 \cdot 9 = 900 - 900 = 0$$

$$x = \frac{-30}{50} = - \frac{3}{5} = -0.6$$

$$25x^{2}+30x+9 = (5x + 3)^2$$

Неравенство $$(5x + 3)^2 < 0$$ не имеет решений, так как квадрат любого числа больше или равен 0.

$$x \in \varnothing$$

ж) $$-10x^{2}+9x > 0$$

Найдем корни квадратного уравнения $$-10x^{2}+9x = 0$$

$$x(-10x + 9) = 0$$

$$x_1 = 0$$

$$x_2 = \frac{9}{10} = 0.9$$

Неравенство $$-10x^{2}+9x > 0$$ выполняется между корнями, так как ветви параболы направлены вниз.

$$x \in (0; 0.9)$$

з) $$-2x^{2}+7x < 0$$

Найдем корни квадратного уравнения $$-2x^{2}+7x = 0$$

$$x(-2x + 7) = 0$$

$$x_1 = 0$$

$$x_2 = \frac{7}{2} = 3.5$$

Неравенство $$-2x^{2}+7x < 0$$ выполняется вне корней, так как ветви параболы направлены вниз.

$$x \in (-\infty; 0) \cup (3.5; +\infty)$$

Ответ: а) $$x \in (-8;6)$$, б) $$x \in (-\infty; 1.5) \cup (2; +\infty)$$, в) $$x \in (-\infty; -3) \cup (5; +\infty)$$, г) $$x \in (1; 1.2)$$, д) $$x \in (-\infty; 1.5) \cup (1.5; +\infty)$$, е) $$x \in \varnothing$$, ж) $$x \in (0; 0.9)$$, з) $$x \in (-\infty; 0) \cup (3.5; +\infty)$$