2. Решите неравенство: a) (x-4)(x+2) ≥ 0 ; б) x² + 49 > 0; в) x²+10x ≥ -24.

a) Решим неравенство:

$$ (x-4)(x+2) \ge 0$$

Найдем нули функции: $$x-4=0$$ или $$x+2=0$$. Отсюда $$x_1 = 4$$, $$x_2 = -2$$.

На числовой прямой отметим точки -2 и 4. Расставим знаки на интервалах. Так как неравенство нестрогое, точки включаются в решение.

      +            -            +
----(-2)--------(4)---------

Выбираем интервалы, где функция больше или равна нулю:

$$x \in (-\infty; -2] \cup [4; +\infty)$$.

Ответ: $$x \in (-\infty; -2] \cup [4; +\infty)$$

---

б) Решим неравенство:

$$x^2 + 49 > 0$$

Так как $$x^2$$ всегда неотрицательно, то $$x^2 + 49$$ всегда больше нуля при любом x.

Ответ: $$x \in (-\infty; +\infty)$$

---

в) Решим неравенство:

$$x^2 + 10x \ge -24$$

$$x^2 + 10x + 24 \ge 0$$

Найдем корни квадратного уравнения $$x^2 + 10x + 24 = 0$$.

По теореме Виета: $$x_1 + x_2 = -10$$, $$x_1 \cdot x_2 = 24$$. Корни: $$x_1 = -6$$, $$x_2 = -4$$.

Тогда неравенство можно переписать как $$(x + 6)(x + 4) \ge 0$$.

На числовой прямой отметим точки -6 и -4. Расставим знаки на интервалах. Так как неравенство нестрогое, точки включаются в решение.

      +            -            +
----(-6)--------(-4)---------

Выбираем интервалы, где функция больше или равна нулю:

$$x \in (-\infty; -6] \cup [-4; +\infty)$$.

Ответ: $$x \in (-\infty; -6] \cup [-4; +\infty)$$