1. Решите показательное уравнение. $$3^{x+\frac{1}{2}} \cdot 3^{x-2} = 1$$

Решим показательное уравнение: $$3^{x+\frac{1}{2}} \cdot 3^{x-2} = 1$$.

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $$3^{(x+\frac{1}{2}) + (x-2)} = 1$$.

Упростим показатель степени: $$3^{2x - \frac{3}{2}} = 1$$.

Представим 1 как степень с основанием 3: $$3^{2x - \frac{3}{2}} = 3^0$$.

Так как основания равны, приравняем показатели: $$2x - \frac{3}{2} = 0$$.

Решим уравнение относительно x: $$2x = \frac{3}{2}$$.

$$x = \frac{3}{4}$$.

Ответ: $$x = \frac{3}{4}$$