Решите примеры a) и б) из задания на фотографии. Задание звучит так: "только положительные числа, если: a) $$y = \frac{2x^2 - 6x + 5}{x^2 + |x| + 1}$$; б) $$y = \frac{-x^2 + 5x - 7}{-|x| - 1}$$"

Решим данные примеры. Здесь требуется, чтобы значения $$y$$ были положительными. **a) $$y = \frac{2x^2 - 6x + 5}{x^2 + |x| + 1}$$** Для того, чтобы $$y > 0$$, необходимо, чтобы числитель и знаменатель были одного знака. Так как знаменатель $$x^2 + |x| + 1$$ всегда положителен (поскольку $$x^2 \geq 0$$ и $$|x| \geq 0$$, а значит, $$x^2 + |x| + 1 \geq 1 > 0$$), нам нужно, чтобы числитель также был положительным: $$2x^2 - 6x + 5 > 0$$ Чтобы решить это неравенство, найдем дискриминант квадратного трехчлена $$2x^2 - 6x + 5$$: $$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 36 - 40 = -4$$ Так как дискриминант отрицательный ($$D < 0$$), а коэффициент при $$x^2$$ положительный ($$2 > 0$$), то парабола $$y = 2x^2 - 6x + 5$$ всегда находится выше оси $$x$$, то есть $$2x^2 - 6x + 5 > 0$$ для всех $$x$$. Таким образом, $$y > 0$$ для всех $$x \in \mathbb{R}$$ (все действительные числа). **б) $$y = \frac{-x^2 + 5x - 7}{-|x| - 1}$$** Для того, чтобы $$y > 0$$, необходимо, чтобы числитель и знаменатель были одного знака. Знаменатель $$-|x| - 1$$ всегда отрицательный (поскольку $$|x| \geq 0$$, значит, $$-|x| \leq 0$$, а $$-|x| - 1 \leq -1 < 0$$). Следовательно, чтобы $$y > 0$$, нам нужно, чтобы числитель также был отрицательным: $$-x^2 + 5x - 7 < 0$$ Умножим обе части неравенства на -1 (при этом знак неравенства меняется): $$x^2 - 5x + 7 > 0$$ Найдем дискриминант квадратного трехчлена $$x^2 - 5x + 7$$: $$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 25 - 28 = -3$$ Так как дискриминант отрицательный ($$D < 0$$), а коэффициент при $$x^2$$ положительный ($$1 > 0$$), то парабола $$y = x^2 - 5x + 7$$ всегда находится выше оси $$x$$, то есть $$x^2 - 5x + 7 > 0$$ для всех $$x$$. Таким образом, $$y > 0$$ для всех $$x \in \mathbb{R}$$ (все действительные числа).