385. Решите систему неравенств: a) x² + x - 6 < 0, -x² + 2x + 3 > 0;

Решим систему неравенств:

x² + x - 6 < 0

-x² + 2x + 3 > 0

Решим первое неравенство:

x² + x - 6 < 0

Найдем корни квадратного уравнения x² + x - 6 = 0:

D = 1² - 4 × 1 × (-6) = 1 + 24 = 25

Так как D > 0, уравнение имеет два корня:

$$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

$$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$

Так как коэффициент при x² положительный (1 > 0), ветви параболы направлены вверх. Значит, решением неравенства x² + x - 6 < 0 является интервал -3 < x < 2.

Решим второе неравенство:

-x² + 2x + 3 > 0

x² - 2x - 3 < 0

Найдем корни квадратного уравнения x² - 2x - 3 = 0:

D = (-2)² - 4 × 1 × (-3) = 4 + 12 = 16

Так как D > 0, уравнение имеет два корня:

$$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

$$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

Так как коэффициент при x² положительный (1 > 0), ветви параболы направлены вверх. Значит, решением неравенства x² - 2x - 3 < 0 является интервал -1 < x < 3.

Решим систему неравенств:

-3 < x < 2

-1 < x < 3

Решением системы будет пересечение этих интервалов, то есть -1 < x < 2.

Ответ: -1 < x < 2