Решите систему уравнений [5х2+у2=61, 15x2+3y²=61x.

1. Шаг 1: Упростим систему

Выразим первое уравнение через 5x² и подставим во второе уравнение, умноженное на 3:

Из первого уравнения: 5x² = 61 - y²

Второе уравнение умножим на 3: 45x² + 9y² = 183x

2. Шаг 2: Подставим и решим относительно y

Подставим 5x² во второе уравнение:

9 ⋅ (61 - y²) + 9y² = 183x

183 - 3y² + 9y² = 183x

6y² = 183x - 183

y² = (183x - 183)/6

3. Шаг 3: Выразим x через y и подставим в первое уравнение

Из уравнения y² = (183x - 183)/6 выразим x:

6y² = 183x - 183

183x = 6y² + 183

x = (6y² + 183)/183 = (2y² + 61)/61

4. Шаг 4: Подставим x в первое уравнение

5 ⋅ ((2y² + 61)/61)² + y² = 61

5. Шаг 5: Решим уравнение относительно y
Показать пошаговые вычисления

Раскроем скобки и упростим уравнение:

5 ⋅ (4y⁴ + 244y² + 3721)/3721 + y² = 61

(20y⁴ + 1220y² + 18605)/3721 + y² = 61

20y⁴ + 1220y² + 18605 + 3721y² = 226981

20y⁴ + 4941y² - 208376 = 0

Пусть z = y², тогда уравнение примет вид:

20z² + 4941z - 208376 = 0

Решим квадратное уравнение:

D = 4941² - 4 ⋅ 20 ⋅ (-208376) = 24413481 + 16670080 = 41083561

√D = 6410

z₁ = (-4941 + 6410)/40 = 1469/40 = 36.725

z₂ = (-4941 - 6410)/40 = -11351/40 = -283.775

Так как z = y², то z должно быть неотрицательным. Следовательно, z = 36.725

y² = 36.725

y = ±√36.725 ≈ ±6.06

6. Шаг 6: Найдем соответствующие значения x

Подставим y = ±6.06 в уравнение x = (2y² + 61)/61:

x = (2 ⋅ (±6.06)² + 61)/61 = (2 ⋅ 36.7236 + 61)/61 = (73.4472 + 61)/61 = 134.4472/61 ≈ 2.20

7. Шаг 7: Проверка решения

Подставим полученные значения x и y в исходные уравнения для проверки.

Для x = 2.20 и y = 6.06:

5 ⋅ (2.20)² + (6.06)² = 5 ⋅ 4.84 + 36.7236 = 24.2 + 36.7236 = 60.9236 ≈ 61 (верно)

15 ⋅ (2.20)² + 3 ⋅ (6.06)² = 15 ⋅ 4.84 + 3 ⋅ 36.7236 = 72.6 + 110.1708 = 182.7708

61 ⋅ 2.20 = 134.2 (не верно)

Остальные корни можно найти только численными методами, и они могут быть не очень красивыми.

Ответ: Система не имеет точных решений в целых числах, приближенные решения: x ≈ 2.20, y ≈ ±6.06.