5. Решите систему уравнений 1 + 1 = 1 y 2', 3x - y = 3.

5. Решите систему уравнений $$ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}, \\ 3x - y = 3. \end{cases} $$

Решение:

1. Выразим y из второго уравнения: $$ y = 3x - 3 $$.
2. Подставим это выражение в первое уравнение: $$ \frac{1}{x} + \frac{1}{3x - 3} = \frac{1}{2} $$.
3. Приведем к общему знаменателю: $$ \frac{3x - 3 + x}{x(3x - 3)} = \frac{1}{2} $$.
4. Упростим числитель: $$ \frac{4x - 3}{3x^2 - 3x} = \frac{1}{2} $$.
5. Перекрестное умножение: $$ 2(4x - 3) = 3x^2 - 3x $$.
6. Раскроем скобки: $$ 8x - 6 = 3x^2 - 3x $$.
7. Перенесем все члены в правую часть уравнения: $$ 3x^2 - 11x + 6 = 0 $$.
8. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $$ D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6 = 121 - 72 = 49 $$.
9. Найдем корни: $$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{11 + 7}{6} = \frac{18}{6} = 3 $$, $$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{11 - 7}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $$.
10. Найдем соответствующие значения y:
11. Если $$ x_1 = 3 $$, то $$ y_1 = 3 \cdot 3 - 3 = 9 - 3 = 6 $$.
12. Если $$ x_2 = \frac{2}{3} $$, то $$ y_2 = 3 \cdot \frac{2}{3} - 3 = 2 - 3 = -1 $$.

Ответ:

Система имеет два решения: (3; 6) и (2/3; -1).

Ответ: (3; 6), (2/3; -1)