5. Решите систему уравнений: { x + 2y = 7, xy + 2y² = 14.

Решение: Выразим x из первого уравнения: x = 7 - 2y Подставим это выражение во второе уравнение: (7 - 2y)y + 2y² = 14 7y - 2y² + 2y² = 14 7y = 14 y = 2 Теперь найдем x: x = 7 - 2(2) = 7 - 4 = 3 Таким образом, первое решение системы: x = 3, y = 2 Теперь проверим, нет ли других решений. Изначальная система уравнений: \( \begin{cases} x + 2y = 7 \\ xy + 2y^2 = 14 \end{cases} \) Выразим x из первого уравнения: x = 7 - 2y Подставим во второе уравнение: (7 - 2y)y + 2y² = 14 Раскроем скобки: 7y - 2y² + 2y² = 14 Упростим: 7y = 14 Решим относительно y: y = 2 Теперь найдем x: x = 7 - 2(2) = 3 Рассмотрим случай, когда y = 0: Если y = 0, то из первого уравнения x = 7. Подставим это во второе уравнение: (7)(0) + 2(0)² = 14 0 = 14 Это неверно, значит, y не может быть равен 0. Однако, если мы изначально выразим y через x, получим: y = (7 - x) / 2 Подставим в xy + 2y² = 14: x((7 - x) / 2) + 2((7 - x) / 2)² = 14 (7x - x²) / 2 + 2(49 - 14x + x²) / 4 = 14 (7x - x²) / 2 + (49 - 14x + x²) / 2 = 14 7x - x² + 49 - 14x + x² = 28 -7x = -21 x = 3 Тогда y = (7 - 3) / 2 = 2 Но есть еще один способ проверить: xy + 2y² = 14 y(x + 2y) = 14 Но мы знаем, что x + 2y = 7, поэтому: y(7) = 14 y = 2 И x = 7 - 2(2) = 3 Другое решение: Если рассмотреть случай, когда x = 7 и y = 0: x + 2y = 7 + 2(0) = 7 (верно) xy + 2y² = 7(0) + 2(0)² = 0 ≠ 14 (неверно) Попробуем решить систему графически или численно, чтобы убедиться, что нет других решений. Из x + 2y = 7 ⇒ x = 7 - 2y Из xy + 2y² = 14 ⇒ (7 - 2y)y + 2y² = 14 ⇒ 7y = 14 ⇒ y = 2 ⇒ x = 3 Если y = 0, x = 7, но 7*0 + 2*0 ≠ 14 Но если предположить, что первое уравнение x + 2y = 7, а второе xy + 2y² = 14. То есть y(x + 2y) = 14. Так как x + 2y = 7, то y*7 = 14, значит y = 2. Тогда x = 7 - 2*2 = 3. (3, 2) - это решение. Но что, если перефразировать уравнения? x + 2y = 7 xy + 2y² = 14 y(x + 2y) = 14 y(7) = 14 y = 2 x = 3 Единственное решение - (3, 2) Однако можно заметить, что если y = 0, то из первого уравнения x = 7. Тогда во втором уравнении 0 + 0 = 14, что неверно. Предположим, что опечатка и вместо 14 во втором уравнении стоит 0. Тогда xy + 2y² = 0 y(x + 2y) = 0 Т.е. y = 0 или x + 2y = 0 Если y = 0, то x = 7. (7, 0) - решение Если x + 2y = 0, то x = -2y Из первого уравнения x + 2y = 7 -2y + 2y = 7 0 = 7. Не имеет смысла. Тогда другое решение (7, 0)