Решите систему уравнений: \(\begin{cases} 2x - 3y = 7 \\ 3x + 4y = 19 \end{cases}\)

Привет! Давай решим эту систему уравнений. Здесь у нас нет простого выражения одной переменной через другую, поэтому удобнее всего использовать метод сложения (или вычитания). Цель — сделать коэффициенты при одной из переменных (например, при 'x' или 'y') противоположными по знаку, чтобы при сложении уравнений эта переменная исчезла.

Дано:

• \[ \begin{cases} 2x - 3y = 7 \quad | × 3 \\ 3x + 4y = 19 × (-2) \end{cases} \]

Решение:

Чтобы избавиться от 'x', нам нужно, чтобы коэффициент при нем был одинаковым, но с разными знаками. Минимальное общее кратное для 2 и 3 — это 6. Поэтому первое уравнение умножим на 3, а второе — на -2.

1. Умножаем первое уравнение на 3:
• 3 * (2x - 3y) = 3 * 7
• 6x - 9y = 21
2. Умножаем второе уравнение на -2:
• -2 * (3x + 4y) = -2 * 19
• -6x - 8y = -38
3. Теперь у нас есть новая система уравнений:
• \[ \begin{cases} 6x - 9y = 21 \\ -6x - 8y = -38 \end{cases} \]
4. Складываем оба уравнения (члены с 'x' взаимно уничтожатся):
• (6x - 9y) + (-6x - 8y) = 21 + (-38)
• 6x - 9y - 6x - 8y = 21 - 38
• -17y = -17
5. Находим 'y', разделив обе стороны на -17:
• y = -17 / -17
• y = 1
6. Теперь, когда мы знаем, что y = 1, найдем 'x'. Для этого подставим значение 'y' в одно из исходных уравнений. Возьмем первое:
• 2x - 3y = 7
• 2x - 3 * 1 = 7
• 2x - 3 = 7
• 2x = 7 + 3
• 2x = 10
• x = 10 / 2
• x = 5

Проверка:

Подставим x = 5 и y = 1 во второе исходное уравнение:

• 3x + 4y = 19
• 3 * 5 + 4 * 1 = 19
• 15 + 4 = 19
• 19 = 19

Все верно!

Ответ: x = 5, y = 1