462. Решите систему уравнений: 1) (x + y - xy = 1, (xy(x + y) = 20;

Решим систему уравнений:

$$\begin{cases} x + y - xy = 1 \\ xy(x + y) = 20 \end{cases}$$

Пусть $$x + y = a$$ и $$xy = b$$. Тогда система перепишется в виде:

$$\begin{cases} a - b = 1 \\ ab = 20 \end{cases}$$

Выразим $$a$$ через $$b$$ из первого уравнения: $$a = b + 1$$. Подставим во второе уравнение:

$$(b + 1)b = 20$$

$$b^2 + b - 20 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = 1^2 - 4(1)(-20) = 1 + 80 = 81$$

$$b_1 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-1 + 9}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

$$b_2 = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2} = \frac{-1 - 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$

Тогда:

$$a_1 = b_1 + 1 = 4 + 1 = 5$$

$$a_2 = b_2 + 1 = -5 + 1 = -4$$

Получаем две системы уравнений:

$$\begin{cases} x + y = 5 \\ xy = 4 \end{cases}$$

и

$$\begin{cases} x + y = -4 \\ xy = -5 \end{cases}$$

Решим первую систему:

$$\begin{cases} x + y = 5 \\ xy = 4 \end{cases}$$

Выразим $$y$$ через $$x$$ из первого уравнения: $$y = 5 - x$$. Подставим во второе уравнение:

$$x(5 - x) = 4$$

$$5x - x^2 = 4$$

$$x^2 - 5x + 4 = 0$$

$$D = (-5)^2 - 4(1)(4) = 25 - 16 = 9$$

$$x_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2} = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

$$x_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2} = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

Тогда:

$$y_1 = 5 - x_1 = 5 - 4 = 1$$

$$y_2 = 5 - x_2 = 5 - 1 = 4$$

Решим вторую систему:

$$\begin{cases} x + y = -4 \\ xy = -5 \end{cases}$$

Выразим $$y$$ через $$x$$ из первого уравнения: $$y = -4 - x$$. Подставим во второе уравнение:

$$x(-4 - x) = -5$$

$$-4x - x^2 = -5$$

$$x^2 + 4x - 5 = 0$$

$$D = 4^2 - 4(1)(-5) = 16 + 20 = 36$$

$$x_3 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

$$x_4 = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$

Тогда:

$$y_3 = -4 - x_3 = -4 - 1 = -5$$

$$y_4 = -4 - x_4 = -4 - (-5) = -4 + 5 = 1$$

Итого, получаем четыре решения:

• $$(4, 1)$$
• $$(1, 4)$$
• $$(1, -5)$$
• $$(-5, 1)$$

Ответ: $$(4, 1), (1, 4), (1, -5), (-5, 1)$$