3) { X y + 6y X = 5, x² + 4xy - 3y² = 18;

Решим систему уравнений:

$$\begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{6y}{x} = 5 \\ x^2 + 4xy - 3y^2 = 18 \end{cases}$$

Пусть $$\frac{x}{y} = t$$. Тогда первое уравнение перепишется в виде:

$$t + \frac{6}{t} = 5$$

Умножим обе части на $$t$$:

$$t^2 + 6 = 5t$$

$$t^2 - 5t + 6 = 0$$

$$D = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$$

$$t_1 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

$$t_2 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

Тогда получаем две системы:

$$\begin{cases} \frac{x}{y} = 3 \\ x^2 + 4xy - 3y^2 = 18 \end{cases}$$

и

$$\begin{cases} \frac{x}{y} = 2 \\ x^2 + 4xy - 3y^2 = 18 \end{cases}$$

Решим первую систему:

$$\begin{cases} x = 3y \\ (3y)^2 + 4(3y)y - 3y^2 = 18 \end{cases}$$

$$9y^2 + 12y^2 - 3y^2 = 18$$

$$18y^2 = 18$$

$$y^2 = 1$$

$$y_1 = 1$$

$$y_2 = -1$$

Тогда

$$x_1 = 3y_1 = 3(1) = 3$$

$$x_2 = 3y_2 = 3(-1) = -3$$

Решим вторую систему:

$$\begin{cases} x = 2y \\ (2y)^2 + 4(2y)y - 3y^2 = 18 \end{cases}$$

$$4y^2 + 8y^2 - 3y^2 = 18$$

$$9y^2 = 18$$

$$y^2 = 2$$

$$y_3 = \sqrt{2}$$

$$y_4 = -\sqrt{2}$$

Тогда

$$x_3 = 2y_3 = 2\sqrt{2}$$

$$x_4 = 2y_4 = -2\sqrt{2}$$

Ответ: $$(3, 1), (-3, -1), (2\sqrt{2}, \sqrt{2}), (-2\sqrt{2}, -\sqrt{2})$$