248 Решите систему уравнений: a) {y-2x=2, 5x²-y=1; б) {x-2y²=2, 3x+y=7;

Решим системы уравнений.

1. a)

   Выразим y из первого уравнения:$$y = 2x + 2$$

   Подставим во второе уравнение:$$5x^2 - (2x + 2) = 1$$

   $$5x^2 - 2x - 2 = 1$$

   $$5x^2 - 2x - 3 = 0$$

   Решим квадратное уравнение через дискриминант:$$D = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64$$

   $$x_1 = \frac{2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{2 + 8}{10} = 1$$

   $$x_2 = \frac{2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{2 - 8}{10} = -0.6$$

   Найдем соответствующие значения y:

   $$y_1 = 2 \cdot 1 + 2 = 4$$

   $$y_2 = 2 \cdot (-0.6) + 2 = 0.8$$

   Ответ: (1; 4), (-0.6; 0.8)

2. б)

   Выразим y из второго уравнения:$$y = 7 - 3x$$

   Подставим в первое уравнение:$$x - 2(7 - 3x)^2 = 2$$

   $$x - 2(49 - 42x + 9x^2) = 2$$

   $$x - 98 + 84x - 18x^2 = 2$$

   $$-18x^2 + 85x - 100 = 0$$

   $$18x^2 - 85x + 100 = 0$$

   Решим квадратное уравнение через дискриминант:$$D = (-85)^2 - 4 \cdot 18 \cdot 100 = 7225 - 7200 = 25$$

   $$x_1 = \frac{85 + \sqrt{25}}{2 \cdot 18} = \frac{85 + 5}{36} = \frac{90}{36} = 2.5$$

   $$x_2 = \frac{85 - \sqrt{25}}{2 \cdot 18} = \frac{85 - 5}{36} = \frac{80}{36} = \frac{20}{9}$$

   Найдем соответствующие значения y:

   $$y_1 = 7 - 3 \cdot 2.5 = 7 - 7.5 = -0.5$$

   $$y_2 = 7 - 3 \cdot \frac{20}{9} = 7 - \frac{20}{3} = \frac{21 - 20}{3} = \frac{1}{3}$$

   Ответ: (2.5; -0.5), (20/9; 1/3)