Решите систему уравнений: $$\begin{cases} y = 1 + x^2 \\ y = x + 2 \end{cases}$$

**Решение:** Для решения этой системы уравнений мы можем приравнять правые части уравнений, так как оба уравнения выражают $$y$$ через $$x$$: $$1 + x^2 = x + 2$$ Теперь решим это уравнение относительно $$x$$: 1. Перенесем все члены в левую часть уравнения: $$x^2 - x + 1 - 2 = 0$$ 2. Упростим уравнение: $$x^2 - x - 1 = 0$$ Теперь у нас есть квадратное уравнение. Решим его с помощью квадратной формулы: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$, где $$a = 1$$, $$b = -1$$, $$c = -1$$. Подставим значения: $$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}$$ $$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2}$$ $$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$$ Итак, у нас есть два значения для $$x$$: $$x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$$ $$x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$$ Теперь найдем соответствующие значения $$y$$, подставив каждое значение $$x$$ в уравнение $$y = x + 2$$: Для $$x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$$: $$y_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} + 2 = \frac{1 + \sqrt{5} + 4}{2} = \frac{5 + \sqrt{5}}{2}$$ Для $$x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$$: $$y_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} + 2 = \frac{1 - \sqrt{5} + 4}{2} = \frac{5 - \sqrt{5}}{2}$$ Итак, решения системы уравнений: $$x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, y_1 = \frac{5 + \sqrt{5}}{2}$$ $$x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, y_2 = \frac{5 - \sqrt{5}}{2}$$ **Ответ:** Решения системы уравнений: $$\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{5 + \sqrt{5}}{2}\right)$$ и $$\left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, \frac{5 - \sqrt{5}}{2}\right)$$