Решите систему уравнений { x2 + y² = 68, xy = -16.

Шаг 1: Выразим y через x из второго уравнения:

\[xy = -16\]

\[y = \frac{-16}{x}\]

Шаг 2: Подставим выражение для y в первое уравнение:

\[x^2 + y^2 = 68\]

\[x^2 + \left(\frac{-16}{x}\right)^2 = 68\]

\[x^2 + \frac{256}{x^2} = 68\]

Шаг 3: Умножим обе части уравнения на x², чтобы избавиться от дроби:

\[x^4 + 256 = 68x^2\]

\[x^4 - 68x^2 + 256 = 0\]

Шаг 4: Сделаем замену переменной: t = x², тогда уравнение примет вид:

\[t^2 - 68t + 256 = 0\]

Шаг 5: Решим квадратное уравнение относительно t. Найдем дискриминант D:

\[D = (-68)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 256 = 4624 - 1024 = 3600\]

Шаг 6: Найдем корни t₁ и t₂:

\[t_1 = \frac{-(-68) + \sqrt{3600}}{2 \cdot 1} = \frac{68 + 60}{2} = \frac{128}{2} = 64\]

\[t_2 = \frac{-(-68) - \sqrt{3600}}{2 \cdot 1} = \frac{68 - 60}{2} = \frac{8}{2} = 4\]

Шаг 7: Вернемся к переменной x, учитывая, что x² = t. Найдем x₁, x₂, x₃ и x₄:

\[x^2 = 64 \Rightarrow x_1 = 8, x_2 = -8\]

\[x^2 = 4 \Rightarrow x_3 = 2, x_4 = -2\]

Шаг 8: Найдем соответствующие значения y для каждого x, используя y = -16/x:

• Если x = 8, то y = -16/8 = -2
• Если x = -8, то y = -16/(-8) = 2
• Если x = 2, то y = -16/2 = -8
• Если x = -2, то y = -16/(-2) = 8