365 Решите систему уравнений 3x + y = 2, x²-y² = -12.

Решим систему уравнений:

$$\begin{cases} 3x + y = 2 \\ x^2 - y^2 = -12 \end{cases}$$

Выразим $$y$$ из первого уравнения: $$y = 2 - 3x$$. Подставим это во второе уравнение:

$$x^2 - (2 - 3x)^2 = -12$$ $$x^2 - (4 - 12x + 9x^2) = -12$$ $$x^2 - 4 + 12x - 9x^2 = -12$$ $$-8x^2 + 12x + 8 = 0$$ $$2x^2 - 3x - 2 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$$ $$x_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$$ $$x_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$$

Найдем соответствующие значения $$y$$:

Если $$x_1 = 2$$, то $$y_1 = 2 - 3 \cdot 2 = 2 - 6 = -4$$.

Если $$x_2 = -0.5$$, то $$y_2 = 2 - 3 \cdot (-0.5) = 2 + 1.5 = 3.5$$.

Проверим решения:

1) $$x = 2, y = -4$$:

$$3 \cdot 2 + (-4) = 6 - 4 = 2$$ $$2^2 - (-4)^2 = 4 - 16 = -12$$

2) $$x = -0.5, y = 3.5$$:

$$3 \cdot (-0.5) + 3.5 = -1.5 + 3.5 = 2$$ $$(-0.5)^2 - (3.5)^2 = 0.25 - 12.25 = -12$$

Оба решения подходят.

Ответ: $$(2, -4)$$, $$(-0.5, 3.5)$$